/n
des classes d'équivalence de congruence
Définition : /n
est l'ensemble des classes d'équivalence
pour la congruence modulo n .
Propriété :
L'ensemble /n
comporte n classes d'équivalence
en effet , pour que deux entiers relatifs x et y soient congrus modulo
n dans , il faut
et il suffit qu'ils aient le même reste dans la division
euclidienne par n, or il y a n restes distincts possibles dans une
division euclidienne par n, ces n restes sont : 0 ; 1 ; 2 ;....; n -1.
Un élément de /n
est donc noté 
ou [x]n
, si le reste correspondant, dans la division euclidienne par n est x.
/n
= { 
; 
;
;
; 
; 
;
;
;
.....; 
}
Addition dans /n
:
on sait que la somme de deux entiers relatifs congru modulo n est
encore un entier congru modulo
n, l'addition dans
induit sur /n,
une addition commutative et associative admettant pour élément
neutre la classe d'équivalence
:
- pour tous éléments
et
de /n
: +
= 
- tout élément
de /n
admet pour cette loi + un élément symétrique (opposé
) ,
en effet
:
+
=
on peut donc en conclure que (/n
; +) est un groupe commutatif.
Remarque : pour visualiser les propriétés de l'additions
dans /n,
utilisez la table d'addition
Multiplication dans /n
:
On sait que le produit de deux entiers relatifs congru modulo n est encore
un entier congru modulo n, la multiplication dans
induit sur /n,
une multiplication commutative et associative et distributive par rapport
à l'addition (définie précédemment définie)
admettant pour élément neutre la classe d'équivalence
:
- pour tous éléments
et de /n
:
= 
Remarque : pour visualiser les propriétés de la multiplication
dans /n,
utilisez la table de multiplication.
On peut donc en conclure que (/n
; + ; ) est un anneau
commutatif et unitaire. (La commutativité de l'addition et
de la multiplication sur /n
est mise en évidence, par une symétrie des résultats
par rapport à la diagonale descendante sur les tables
d'addition et de multiplication.)
Eléments inversibles de /n
( n
)
Les éléments inversibles
de l' anneau (/n
; + ; ) sont les éléments
qui admettent des symétriques pour la seconde loi
de l'anneau. ( pour comprendre utilisez la table
de multiplication dans /n
et regardez les couples dont les produits sont égaux à ,
vous verrez que dans certains cas, certains éléments n'ont
pas d'inverse pour la multiplication)
Propriété : les éléments inversibles
dans l'anneau
(/n
; + ; ) sont les éléments
tels que x
et n sont premiers entre eux.
Démonstration :
est inversible dans
/n
/n
;
=
y
; xy
1 [n]
(k
; y)
² ;
xy - 1 = k
n
(k
; y)
² ;
xy - k n
= 1
x et
n sont premiers entre eux ( théorème
de Bezout )
Propriété importante
(/n
; + ; ) est un corps
n est un nombre premier
Démontration :
(/n
; + ; ) est un corps
/n
- {} ,
est inversible
{ ;
; ....;
} , est inversible
x
{ 1; 2; ....; n-1}
, x
et n sont premiers entre eux
n est premier.
