Construction de l'ensemble des entiers relatifs

Problème de la différence de 2 entiers naturels

Soit a et b deux entiers naturels, l'équation x + b = a admet une solution d = a - b dans l'ensemble uniquement dans le cas ou a b, si a < b l'équation x + b = a n'a pas de solution

Exemples :
l'équation x + 3 = 4 admet pour solution unique x = 4 - 3 = 1
l'équation x + 4 = 1 n'admet aucune solution dans

Ce problème va engendrer la construction de l'ensemble des entiers relatifs, on peut remarquer que pour un entier naturel fixé d , il existe une infinité de couples (a ; b) d'entiers naturels tel que d est la différence a - b

Exemple :
3 = 5 - 2 = 6 - 3 = 18 - 15 = 13 - 10 = 100 - 97 = .....

Considérons un entier naturel d fixé et soient deux couples
d'entiers naturels ( a ; b ) et (a' ; b') tels que d = a - b = a' - b'
si a - b = a' - b' alors a + b' = a' + b , mais cette dernière relation a + b' = a' + b n'est pas uniquement vérifié dans le cas ou a b et a' b'

Exemple :
Les couples (3 ; 8) et (2 ; 7) sont tels que 3 + 7 = 2 + 8 et pourtant 3 < 8 et 2 < 7

Construction de :
Dans un premier temps, on s'intéressera à l'ensemble des entiers relatifs à l'ensemble produit ² des couples d'entiers naturels muni de la relation précédente, deux couples ( a ; b) et (a' ; b') définirons le même élément si et seulement si a + b' = a' + b, dans le cas ou a ' b et a' b' les couples (a ; b) et (a' ; b') définissent toujours l'entier naturel
d = b - a = b' - a'.

La relation vérifiée par deux couples ( a ; b) et (a' ; b') quelconque de ² : a + b' = a' + b est bien une relation d'équivalence, notons la . On définit un entier relatif comme étant l'ensemble des classes de couples équivalents par la relation .
(0 ; 5) , (1 ; 6) , ( 2 ; 7) , (3 ; 8) , (4 ; 9) , .... appartiennent à la même classe d'équivalence ils représentent un entier relatif ( que l'on notera (-5) )

Addition sur
si (a ; b) et ( c; d) sont deux couples d'entiers naturels tels que a b et c d alors le couple (a ; b) définit le nombre entier naturel a - b et le couple ( c ; d) définit le nombre entier naturel c - d , additionner a - b et c - d revient à calculer ( a + c ) - ( c + d) :


il n'était pas nécessaire d'utiliser cette propriété pour additionner 2 et 6 mais pour définir une addition qui coïncide quand les entiers relatifs sont des entiers naturels.
On définit donc l'addition sur ² pour tous couples (a ; b) et ( c; d) d'entiers naturels par

Cette addition sur ² est une loi interne, commutative , associative et l'élément ( 0 ; 0) est l'élément neutre pour cette loi de plus elle est compatible avec la relation , elle induit donc sur une addition commutative , associative , admettant pour élément neutre la classe des éléments équivalents à ( 0 ; 0 )

Notation des entiers relatifs

Le dernier couple de chaque liste est appelé couple canonique il représente comme les autres le même entier relatif mais ces éléments sont les plus petits possibles.

  • La classe d'équivalence du couple canonique (n ; 0) où n est un entier naturel non nul est appelé entier relatif strictement positif, on la note + n ou tout simplement n
  • La classe d'équivalence du couple canonique (0 ; n) où n est un entier naturel non nul est appelé entier relatif strictement négatif on la note - n .
  • La classe d'équivalence du couple canonique ( 0 ; 0) est appelé entier relatif nul on la note 0.
  • L'entier naturel n est appelé valeur absolue du nombre relatif.

on a donc avec ces notations par exemple :

On retrouve la définition niveau "collège" sur l'addition des entiers relatifs

Table d'addition des entiers relatifs

Multiplication sur
on définie d'abord une "multiplication" sur l'ensemble ² :
pour tous couples (a ; b) et ( c; d) d'entiers naturels :

on démontre que cette multiplication sur est une loi interne, commutative et distributive par rapport à l'addition, qu'elle admet pour élément neutre le couple ( 1 ; 0) et qu'elle est compatible avec la relation d'équivalence , elle induit donc sur une multiplication commutative , associative , distributive par rapport à l'addition et admettant pour élément neutre la classe des éléments équivalents à ( 1 ; 0 ) en utilisant la notation d'un entier relatif on retrouve la définition utilisée au collège pour la multiplication.

Exemple :

Table de multiplication dans l'ensemble des entiers relatifs

Remarque : ( , + , ) est un anneau d'intégrité commutatif et unitaire.

Comparaison de deux entiers relatifs :

Soient a, b, c trois entiers relatifs
Relation d'ordre sur

  • considérons la relation notée définie sur par :
    a b équivaut à (a - b) +, cette relation est une relation d'ordre total sur on dit a est supérieur ou égal à b.
  • Considérons la relation notée définie sur par :
    a b équivaut à (b - a) +, cette relation est une relation d'ordre total sur on dit a est inférieur ou égal à b.

Relation d'ordre strict sur

  • La relation notée > définie sur sur par :
    a b et a b est une relation d'ordre strict sur on dit a est strictement supérieur à b.
  • La relation notée < définie sur sur par :
    a b et a b est une relation d'ordre strict sur on dit a est strictement inférieur à b.

Les relations et sont compatibles avec l'addition sur et la multiplication sur + :

Autres propriétés :

  • on change de sens d'une inégalité quand on multiplie les deux membres par un nombre négatif :

  • tout entier positif est supérieur ou égal à 0.
  • tout entier négatif est inférieur ou égal à 0.
  • tout entier positif est supérieur ou égal à tout entier négatif.
  • tout sous ensemble majoré de admet un plus grand élément.
  • tout sous ensemble minoré de admet un plus petit élément.
  • l'anneau (, + , ) est archimédien :
    pour tout entier relatif non nul x et tout entier relatif y il existe un entier naturel n tel que nx > y