Problème de la différence de 2 entiers naturels
Soit a et b deux entiers naturels,
l'équation x + b = a admet une solution d = a - b dans l'ensemble
uniquement dans
le cas ou a 
b, si a
< b l'équation x + b = a n'a pas de solution
Exemples :
l'équation x + 3 = 4 admet pour solution unique x = 4 - 3 = 1
l'équation x + 4 = 1 n'admet aucune solution dans
Ce problème va engendrer la construction de l'ensemble des entiers
relatifs, on peut remarquer que pour un entier naturel fixé d ,
il existe une infinité de couples (a ; b) d'entiers naturels tel
que d est la différence a - b
Exemple :
3 = 5 - 2 = 6 - 3 = 18 - 15 = 13 - 10 = 100 - 97 = .....
Considérons un entier naturel d fixé et soient deux couples
d'entiers naturels ( a ; b ) et (a' ; b') tels que d = a - b = a' - b'
si a - b = a' - b' alors a + b' = a' + b , mais cette dernière
relation a + b' = a' + b n'est pas uniquement vérifié dans
le cas ou a b et a'
b'
Exemple :
Les couples (3 ; 8) et (2 ; 7) sont tels que 3 + 7 = 2 + 8 et pourtant
3 < 8 et 2 < 7
Construction de 
:
Dans un premier temps, on s'intéressera à l'ensemble
des entiers relatifs à l'ensemble produit ²
des couples d'entiers naturels muni de la relation précédente,
deux couples ( a ; b) et (a' ; b') définirons le même élément
si et seulement si a + b' = a' + b, dans le cas ou a '
b et a' b' les couples
(a ; b) et (a' ; b') définissent toujours l'entier naturel
d = b - a = b' - a'.
La relation vérifiée par deux couples ( a ; b) et (a' ;
b') quelconque de ²
: a + b' = a' + b est bien une relation
d'équivalence, notons la 
.
On définit un entier relatif comme étant l'ensemble des
classes de couples équivalents par la relation
.
(0 ; 5) , (1 ; 6) , ( 2 ; 7) , (3 ; 8) , (4 ; 9) , .... appartiennent
à la même classe d'équivalence ils représentent
un entier relatif ( que l'on notera (-5) )
Addition sur
si (a ; b) et ( c; d) sont deux couples d'entiers naturels tels que a
b et c
d alors le couple (a ; b) définit le nombre entier naturel a -
b et le couple ( c ; d) définit le nombre entier naturel c - d
, additionner a - b et c - d revient à calculer ( a + c ) - ( c
+ d) :
il n'était pas nécessaire d'utiliser cette propriété
pour additionner 2 et 6 mais pour définir une addition qui coïncide
quand les entiers relatifs sont des entiers naturels.
On définit donc l'addition sur ²
pour tous couples (a ; b) et ( c; d) d'entiers naturels par
Cette addition sur ²
est une loi interne, commutative , associative
et l'élément ( 0 ; 0) est l'élément
neutre pour cette loi de plus elle est compatible avec la relation
, elle induit donc
sur une
addition commutative , associative
, admettant pour élément neutre la classe des éléments
équivalents à ( 0 ; 0 )
Notation des entiers relatifs
Le dernier couple
de chaque liste est appelé couple canonique il représente
comme les autres le même entier relatif mais ces éléments
sont les plus petits possibles.
- La classe d'équivalence du couple canonique (n ; 0) où n est un entier naturel non nul est appelé entier relatif strictement positif, on la note + n ou tout simplement n
- La classe d'équivalence du couple canonique (0 ; n) où n est un entier naturel non nul est appelé entier relatif strictement négatif on la note - n .
- La classe d'équivalence du couple canonique ( 0 ; 0) est appelé entier relatif nul on la note 0.
- L'entier naturel n est appelé valeur absolue du nombre relatif.
on a donc avec ces notations par exemple :
On retrouve la définition niveau
"collège" sur l'addition des entiers relatifs
Table d'addition des entiers relatifs
Multiplication sur
on définie d'abord une "multiplication" sur l'ensemble
² :
pour tous couples (a ; b) et ( c; d) d'entiers naturels :
on démontre que cette multiplication sur
est une loi interne, commutative et distributive par rapport à
l'addition, qu'elle admet pour élément neutre le couple
( 1 ; 0) et qu'elle est compatible avec la relation d'équivalence
, elle induit donc
sur une
multiplication commutative , associative
, distributive par rapport à l'addition
et admettant pour élément neutre la classe des éléments
équivalents à ( 1 ; 0 ) en utilisant la notation d'un entier
relatif on retrouve la définition utilisée au collège
pour la multiplication.
Exemple :
Table de multiplication dans l'ensemble
des entiers relatifs
Remarque : ( ,
+ , 
) est un anneau
d'intégrité commutatif et unitaire.
Comparaison de deux entiers relatifs :
Soient a, b, c
trois entiers relatifs
Relation d'ordre sur
- considérons la relation notée
définie sur
par :
a b équivaut
à (a - b) 
+,
cette relation est une relation
d'ordre total sur
on dit a est supérieur ou égal à b. - Considérons la relation notée
définie sur
par :
a b équivaut
à (b - a)
+,
cette relation est une relation
d'ordre total sur
on dit a est inférieur ou égal à b.
Relation d'ordre strict sur
- La relation notée > définie sur sur
par :
a b et a 
b est une relation d'ordre strict
sur on dit a
est strictement supérieur à b. - La relation notée < définie sur sur
par :
a b et a
b est une relation d'ordre strict
sur on dit
a est strictement inférieur à b.
Les relations et
sont compatibles avec l'addition sur
et la multiplication sur +
:
Autres propriétés :
- on change de sens d'une inégalité quand on multiplie
les deux membres par un nombre négatif :
- tout entier positif est supérieur ou égal à 0.
- tout entier négatif est inférieur ou égal à 0.
- tout entier positif est supérieur ou égal à tout entier négatif.
- tout sous ensemble majoré de
admet un plus grand élément.
- tout sous ensemble minoré de
admet un plus petit élément.
- l'anneau (,
+ , ) est archimédien
:
pour tout entier relatif non nul x et tout entier relatif y il existe un entier naturel n tel que nx > y
