L'ensemble des entiers relatifs est noté il contient non seulement les entiers naturels mais d'autres nombres. Un nombre relatif s'écrit sous la forme d'un signe + ou - suivi d'un nombre entier naturel que l'on appelle valeur absolue du nombre entier relatif. C'est une façon de compléter l'ensemble des entiers naturels pour que la soustraction entre deux nombres soit toujours possible.

Les opérations suivantes étaient impossibles dans l'ensemble des entiers naturels :
2 - 3 ; 5 - 10; 12 - 14.
On va "créer" de nouveaux nombres correspondants à ces soustractions impossibles dans l'ensemble des entiers naturels on sait que 3 - 2 = 1, 10 - 5 = 5 et 14 - 12 = 2, convenons que 2 - 3 = -1, 5 - 10 = -5 et 12 -14 = -2, ces nombres sont appelés nombres entiers négatifs, les entiers naturels et des entiers négatifs forment les entiers relatifs.
( construction de l'ensemble des entiers relatifs :bac++)

Représentation d'un entier relatif sur une droite
Le nombre 1 est situé une unité à droite du 0, et on place le nombre -1 une unité à gauche de 0, le nombre 2 est situé deux unités à droite de 0 et le nombre -2, deux unités à gauche de 0 etc ...

on remarque que les entiers relatifs sont régulièrement répartis de 1 en 1 et à gauche et à droite de 0.

Valeur absolue d'un entier relatif :
La valeur absolue d'un entier relatif est l'entier naturel devant le signe : exemple la valeur absolue de -3 est nombre entier naturel 3 , la valeur absolue d'un entier naturel est le nombre lui même exemple la valeur absolue de 3 c'est 3.

Nombres entiers relatifs opposés :
Deux nombres sont opposés quand ils ont la même valeur absolue mais des signes contraires :
Exemple :


Opérations sur les entiers relatifs

Addition de deux entiers relatifs
Pour ajouter deux entiers relatifs de même signe on garde le signe commun pour le résultat et on ajoute les valeurs absolues :

Pour ajouter deux entiers relatifs de signe contraire on prend le signe de la plus grande valeur absolue et on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande valeur absolue ( différence naturelle ):


Cas particulier : la somme de 2 nombres entiers relatifs opposés est égale à 0.

Table d'addition dans l'ensemble des entiers relatifs

Soustraction de nombre entier relatif :
Pour soustraire un nombre entier relatif on ajoute son opposé :



Simplification d'écriture dans le cas d'une somme de nombres entiers relatifs : (somme algébrique )

sans parenthèses et sans le "+" de l'addition.

Table de soustraction dans l'ensemble des entiers relatifs

Produit de deux entiers relatifs :

Si les deux entiers relatifs sont de même signe, le produit est un entier relatif positif de valeur absolue le produit des valeurs absolues des deux entiers.

Si les deux entiers relatifs sont de signe contraire, le produit est un entier relatif négatif de valeur absolue le produit des valeurs absolues des deux entiers.


Table de multiplication dans l'ensemble des entiers relatifs

Division de deux entiers relatifs :
Diviser exactement un nombre appelé dividende par un autre nombre appelé diviseur c'est trouver un nombre appelé quotient dont le produit par le diviseur est égal au dividende, la division dans les entiers relatifs n'est pas toujours possible.

Exemple :

Table de division dans l'ensemble des entiers relatifs

Comparaison de deux entiers relatifs :
Si deux entiers relatifs sont positifs le plus grand des deux est celui qui a la plus grande valeur absolue.
Si deux entiers relatifs sont négatifs le plus grand des deux est celui qui a la plus petite valeur absolue.
Si deux entiers relatifs sont de signe contraire, le plus grand des deux est l'entier positif.

Remarque : le plus simple est de placer les deux nombres à comparer sur une droite, celui qui se trouve à droite de l'autre est le plus grand des deux.