Enoncé :
Si m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux alors les ensembles (/m) x (/n) et (/mn) sont isomorphes.

Démonstration :
Considérons l'application f qui à tout entier relatif x associe le couple ( [x]_m , [x]_n ) où [x]_m et [x]_n sont respectivement les classes modulo m et n de x.
f est donc définie par f(x) = ( [x]_m , [x]_n )
Cette application est un morphisme d' anneaux de l'anneau
(, +, . ) sur l'anneau (/m, + , . ) x (/n, + ,.) en effet :
pour tout couple ( x ; y ) d'entiers relatifs on a :
f( x + y ) =( [x+ y]_m , [x + y ]_n ) =
( [x]_m + [y]_m , [x]_n + [y]_n ) =
( [x]_m , [x]_n ) + ( [y]_m , [y]_n ) =
f(x) + f(y)
f( x y ) =( [x y]_m , [x y ]_n ) =
( [x]_m [y]_m , [x]_n[y]_n ) =
( [x]_m, [x]_n ) ( [y]_m , [y]_n ) =
f(x)f(y)
Déterminons le noyau de f , c'est à dire l'ensemble des entiers relatifs x dont l'image est le couple ( [0]_m , [0]_n )
Ker(f) = { x ; f( x) = ( [0]_m , [0]_n ) }
= { x ; ( [x]_m , [x]_n ) = ( [0]_m , [0]_n ) }
= { x ; [x]_m = [0]_m et [x]_n = [0]_n }
= { x ; x m et x n}
( c'est donc l'ensemble des nombres relatifs x qui sont à la fois multiples de m et de n )
ker(f) = m n
notons p le plus petit multiple commun de m et n , (ppcm)
on sait que m n = p
donc Ker(f) = p {0} il en résulte que f n'est pas un morphisme injectif.

Cherchons un morphisme g qui lui sera injectif et aura même image de f :
soit x ; y deux entiers relatifs tels que f(x) = f(y)
on a alors f(x - y) = ( [0]_m , [0]_n )
d'ou x - y est un multiple de p = ppcm (m,n)
par conséquent [x]_p = [y]_p
l'application
g : (/p) (/m) x (/n) définie par :
g ([x]_p) = ( [x]_m , [x]_n ) = f(x)

L'application g est un morphisme d'anneaux en effet :
Pour tout couple ( [x]_p , [y]_p ) de (/p)² ,
g( [x]_p + [y]_p ) =
g( [x+ y]_p) = f(x+ y) = f(x) + f(y) = g ([x]_p) + g ([y]_p)
g( [x]_p [y]_p ) =
g( [xy]_p) = f(xy) = f(x) f(y) = g ([x]_p)g ([y]_p)

L'application g est injective :
Ker(g) = { [x]_p /p ; g ([x]_p) = ( [0]_m , [0]_n ) }
= { [x]_p /p ; f(x) = ( [0]_m , [0]_n ) }
= { [x]_p /p ; x Ker(f) }
= { [x]_p /p ; x p }
= { [0]_p}
On a donc trouvé un morphisme injectif entre :
/p et (/m) x (/n) , si de plus m et n sont premiers entre eux, alors on sait que le plus petit commun multiple de m et n est mn donc p = mn .
card(/p) = p = mn
card( (/m) x (/n) ) = mn
donc card(/p) = card( (/m) x (/n) ), le morphisme g qu'on a définit est donc aussi bijectif.
Conclusion (/m) x (/n) et (/mn) sont isomorphes.
(/m) x (/n) (/mn)