Objectif : On prélève des échantillons dans deux populations P₁ et P₂ de tailles respectives n₁ et n₂ et de fréquence f₁ et f₂ . on veut savoir si on peut accepter au seuil de risque , que les fréquences p₁ et p₂ des deux populations sont égales.

Régle de décision, région critique :
On suppose que les fréquences p₁ et p₂ des deux populations sont égales.
Cette hypothèse est appelée hypothèse nulle, on la note H₀ : p₁ = p₂ .
l'hypothèse H₁ : p₁ p₂ est l' hypothèse alternative.
Soient F₁ la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille n₁ prélevé dans la population fait correspondre la fréquence de cet échantillon.
et F₂ la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille n₂ prélevé dans la population fait correspondre la fréquence de cet échantillon.
On sait que F₁ et F₂ sont indépendantes et suivent approximativement des loi normales respectivement de moyennes p₁ et p₂ et d'écarts types ₁ et ₂ tels que :

Donc la variable aléatoire D définie par : D = F₂ - F₁ suit une loi normale de moyenne nulle et d'écart type :

Les fréquences p₁ et p₂ des populations sont inconnues donc prends pour
₁ et ₂ leurs estimations ponctuelles à partir des échantillons :

Donc la variable aléatoire D définie par T = D/ suit approximativement une loi normale centrée réduite
N(0 ; 1) donc pour tout réel t , on a :

où t est le nombre réel tel que 2 ( t ) - 1 = 1 - ou encore ( t ) = 1 - / 2
et par conséquent la probabilité que la fréquence de l'échantillon soit en dehors de l'intervalle.
Autrement dit au seuil de risque , on peut fixer la règle suivante :

seuil de risque : =
L'échantillon n° 1 est de taille n₁ = de fréquence f₁ = ,
L'échantillon n° 2 est de taille n₂ = de fréquence f₂ = ,
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