Objectif : On prélève un échantillon prélèvé de taille n , de moyenne dans une population d'écart type on veut savoir si on peut accepter au seuil de risque , que la moyenne m inconnue de la population soit égale à une valeur donnée m₀ .

Régle de décision, région critique :
On suppose que la moyenne m de la population est égale à une certaine valeur m₀.
Cette hypothèse est appelée hypothèse nulle, on la note H₀ : m = m₀,
l'hypothèse H₁ : m m₀ est l' hypothèse alternative.
La variable aléatoire qui à tout échantillon non exhaustif de taille n associe la moyenne de cet échantillon suit donc approximativement la loi normale N( m ; / ), donc la variable aléatoire( / ) ( - m) suit la loi normale centrée réduite N( 0 ;1) donc pour tout réel t ,
on a :

( voir loi d'échantillonnage )
En supposant que m = m₀, on peut donc dire que l'on a une probabilité de 1 - que la moyenne de l'échantillon soit dans l'intervalle :

où t est le nombre réel tel que 2 ( t ) - 1 = 1 - ou encore ( t ) = 1 - / 2
et par conséquent la probabilité que la moyenne de l'échantillon soit en dehors de l'intervalle.
Autrement dit au seuil de risque , on peut fixer la règle suivante :

cette régle est appelé règle de décision.
La région où on refuse H₀ est appelée région critique .



Erreur de première espèce et de seconde espèce :
En refusant H₀ , on court un risque de probabilité , celui de refuser H₀ alors que H₀ est vraie. Cette erreur est appelée erreur de première espèce.
En acceptant H₀ , on court un risque de probabilité , celui d'accepter H₀ alors que H₀ est fausse. Cette erreur est appelée erreur de seconde espèce.

L'échantillon prélèvé est de taille n = ,
sa moyenne est = , l'écart type de la population est = .
La probabilité de risque est =
L'hypothèse que l'on fait sur la moyenne de la population est H₀ : m = m₀ = .
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