Suites géométriques
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre réel constant non nul q ( c'est une définition par récurrence )
Pour tout entier naturel n : un+1 = q un
Remarque : pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité
un+1 = q un et si un est non nul quelque soit n, il suffit de prouver que :

ou q est un réel constant.

Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ème terme si on connaît le troisième terme u2 de la suite, en effet il faut calculer u3 , puis u4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u28 ( 29 ème terme )
Expression de un en fonction de u0 et de n

On peut d'après la définition écrire les n égalités, en multipliant membre à membre ces n égalités, on obtient après simplification la relation :

Remarques : en fait toute suite explicitement définie par un = ban ( ou a et b sont deux réels fixés ) est une suite géométrique de premier terme u0 = b et de raison a.
Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u0 par n'importe quel terme up de la suite.

On peut comprendre aussi cette formule de cette façon :
Variation
  • Si q = 1 ou u0 = 0, la suite est constante ( stationnaire à partir de n = 0)
  • Si q > 1 et u0 > 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un > 0.
  • Si q > 1 et u0 < 0 , la suite est strictement décroissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un < 0
  • Si 0 < q < 1 et u0 > 0 , la suite est strictement décroissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un < 0
  • Si 0 < q < 1 et u0 < 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un > 0
  • Si q < 0 , la suite est alternée
Convergence
  • Si q = 1 la suite est constante donc convergente.
  • Si |q|< 1, la suite est convergente et converge vers 0.
  • Si |q|> 1, la suite est divergente.
Essayez vous même sur des exemples en choisissantle

premier terme u

= et la raison q = de
la suite et en cliquant plusieurs fois de , vous verrez l'évolution des termes de la suite.
Somme des n+1 premiers termes de la suite
Soit S la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique
Exprimons S, puis qS en fonction de u0 , q et n :
En mettant en facteur q dans le premier membre de l'égalité et u0 dans le second membre, on obtient :
Puis :

On retient plutôt la formule :