| Suites
arithmétiques |
| Une suite arithmétique est une
suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un
nombre réel constant r ( c'est une définition par récurrence
) |
| Pour tout entier naturel n : un+1
= un+ r |
| Remarque : pour démontrer qu'une
suite est arithmétique il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité
un+1 - un = constante . |
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| Cette définition n'est pas pratique pour calculer
par exemple le 30 ème terme si on connaît le troisième terme
u2 de la suite, en effet il faut calculer u3 , puis
u4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à
u28 (
29 ème terme ) |
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Expression de un en fonction de u0
et de n
On peut d'après la définition écrire les n égalités, en
additionnant membre à membre ces n égalités, on obtient après simplification
la relation :
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Remarques : en fait toute suite explicitement
définie par un = an + b ( ou a et b sont deux réels fixés ) est
une suite arithmétique de premier terme u0 = b et de raison a.
On peut voir aussi la suite arithmétique comme la restriction à 
de la fonction affine f définie
par f(x) = ax + b |
| Cette dernière expression peut être généralisée
en remplaçant u0 par n'importe quel terme up de la
suite. |
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On peut comprendre aussi cette formule de cette
façon :
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| Variation et convergence |
- Si r = 0, la suite est constante ( stationnaire à partir de
n = 0)
- Si r > 0 , la suite est strictement
croissante puisque pour tout n entier naturel
on a un+1 - un = r > 0 et :
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| Somme des n+1 premiers termes de la suite |
Soit S la somme des n + 1 premiers termes de la
suite arithmétique 
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| Exprimons les nombres un + u0
,un-1 + u1 ,un-2 + u2....
en fonction de n et de u0 : |
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| On trouve le même résultat ( ce qui est normal
si on réfléchit un peu, puisque si on retire r d'un côté on l'ajoute de
l'autre ) , on peut donc dire que : |
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| Calculons S en utilisant cette propriété : |
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| On en déduit l'égalité suivante plus facile à
retenir et appliquer : |
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| Exercice
interactif |
