Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r ( c'est une définition par récurrence )
Pour tout entier naturel n : un+1 = un+ r
Remarque : pour démontrer qu'une suite est arithmétique il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité :
un+1 - un = constante .
Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ème terme si on connaît le troisième terme u2 de la suite, en effet il faut calculer u3 , puis u4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u28 ( 29 ème terme )
Expression de un en fonction de u0 et de n

On peut d'après la définition écrire les n égalités, en additionnant membre à membre ces n égalités, on obtient après simplification la relation :

Remarques : en fait toute suite explicitement définie par un = an + b ( ou a et b sont deux réels fixés ) est une suite arithmétique de premier terme u0 = b et de raison a. On peut voir aussi la suite arithmétique comme la restriction à de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b
Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u0 par n'importe quel terme up de la suite.

On peut comprendre aussi cette formule de cette façon :
Variation et convergence
  • Si r = 0, la suite est constante ( stationnaire à partir de n = 0)
  • Si r > 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un = r > 0 et :

  • Si r < 0, la suite est strictement décroissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un = r < 0 et on a :

Somme des n+1 premiers termes de la suite
Soit S la somme des n + 1 premiers termes de la suite arithmétique

Exprimons les nombres un + u0 ,un-1 + u1 ,un-2 + u2.... en fonction de n et de u0 :
On trouve le même résultat ( ce qui est normal si on réfléchit un peu, puisque si on retire r d'un côté on l'ajoute de l'autre ) , on peut donc dire que :
Calculons S en utilisant cette propriété :
On en déduit l'égalité suivante plus facile à retenir et appliquer :
Exercice interactif