La formule de Stirling donne un équivalent de n
! au voisinage de + 
on a :
d'où
Démonstration :
Montrons tout d'abord que pour tout entier naturel n
que :
Où k
est une constante réel strictement positive.
Posons Jn
la suite définie par :
Déterminons l'équation de la tangente (AD) au point d'abscisse
t ou t est un entier naturel non nul on a :
on en déduit l'ordonnée du point D d'abscisse t + 1/2 :
Déterminons l'équation de la tangente (BD) au point d'abscisse
t + 1 ou t est entier naturel non nul.
on en déduit l'ordonnée du point E d'abscisse t + 1/2 :
Comme la fonction ln est convexe ( toutes les tangentes en à la
courbe sont au dessus de la courbe et toutes les cordes sont au dessous
de la courbe ) on peut encadrer l'intégrale suivante de cette façon
:
en faisant
la somme pour t allant de 1 à n - 1 on trouve :
on montre que la suite
La suite un
est donc croissante, comme deplus est est majorée par 1/8
( voir l'encadrement plus haut ) on en déduit que un
est convergente. Soit b sa limite on a :
déterminons la constante réelle k grace à la formule
de Wallis :
