Fonction sinus
Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x. (voir arc orienté ) On appelle sinus de x l'ordonnée du point M dans le repère orthonormé et on note sin x ce réel. Exemple : ( se note PI , 2/3 : *2PI/3** ) = (syntaxe)
Pour certains réels x on connaît les valeurs du sinus : appelées valeurs remarquables , certaines propriétés permettent de simplifier les expressions avec des cosinus et des sinus ce sont les formules des angles associés et les formules d'addition ,duplication etc...
Courbe représentative de la fonction sinus construite à partir du cercle trigonométrique : Voir applet Geogebra
Propriétés de la fonction sinus : La fonction sinus est une fonction impaire : en effet, pour tout réel x on a : sin(-x) = -sin(x) La fonction sinus est une fonction périodique de période 2, en effet pour tout réel x , sin(x + 2) = sin(x) La fonction sinus est antipériodique d'antipériode C'est aussi une fonction bornée , pour tout réel x on a : -1 sin(x) 1 ( voir sur le cercle trigonométrique ou avec quelques valeurs numériques)
Variations de la fonction sinus : On va restreindre l'étude des variations de la fonction sinus à l'intervalle [0 ; ] puisque la fonction est impaire et périodique de période 2 A partir du cercle trigonométrique, quand x varie de 0 à /2 , sin(x) augmente, la fonction sinus est donc croissante sur l'intervalle [0 ; /2], quand x varie de /2 à , sin(x) diminue donc la fonction sinus est décroissante sur [/2; ]. L'étude des variations de la fonction sinus sur l'intervalle [0 ; ] peut se faire égallement en étudiant le signe de sa dérivée sur l'intervalle [0 ; ] , sur [0 ; /2], cos x est positif et sur [/2; ] cos x est négatif.
Quelques limites utiles :
Dérivée de la fonction sinus :
la fonction sinus est dérivable sur et sa dérivée est la fonction cosinus x cos x. démonstration
Résolution d'équation avec sinus : Comment résoudre une équation du type sin a = sin b