On appelle série entière de variable x toute série de terme général
u_n = a_nxⁿ, où (a_n) est une suite numérique .
La somme de cette série si elle existe est une fonction de la variable x que l'on note :

Les sommes partielles de cette série sont des polynômes.

Rayon de convergence et domaine de convergence d'une série entière :
L'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série numérique de terme général u_n = a_nxⁿ est convergente est appelé domaine de convergence.
On démontre et on admet que le domaine de convergence d'une série entière est un intervalle centré en 0.
Le nombre réel positif positif R maximum tel que pour tout réel x de l'intervalle ]-R ; R[ ,la série de terme générale u_n = a_nxⁿ est convergente est appelé rayon de convergence de la série entière on a :

Propriété de la fonction somme
Si f est la somme d'une série entière de rayon de convergence non nul R, on démontre et on admet que :

• la fonction f est continue et infiniment dérivable sur le domaine de convergence
• la série dérivée de terme général
  u_n'(x) = na_nx^n-1 admet le même rayon de convergence.

Si f est une fonction continue et infiniment dérivable sur un intervalle
]-R ; R [ et dont les dérivées successives sont bornées alors cette fonction est développable en série entière et : ( Mac Laurin )

(voir développement limité d'ordre n )