- Série harmonique : c'est la série :
Bien que son terme général tend vers 0 en +  ,
cette série est divergente
en effet :
soit n un entier naturel non nul, soit p la partie
entière du nombre ln n/ln 2 , on a : n 
2p et :
quand n tend vers +
p tend également vers +
d'ou la série
est une série divergente.
- Série de Riemann : c'est la série de la forme
:
où  est un
réel fixé, ( on peut remplacer n 1
par n n0
ou n0 est entier naturel non nul) .
Cette série est convergente si et seulement si
> 1
Preuve :
on sait déja que la série est divergente pour
= 1,
et pour tout entier n
n0 on a si
< 1 :
en utilisant le théorème de comparaison des séries
on en déduit que la série de Riemann est divergente
( vers + ) pour
< 1 et donc pour
 1.
Supposons donc que
> 1 et considérons la fonction f définie sur [1 ; +
[ par :
la fonction f est strictement décroissante, continue, et positive
sur [1 ; + [, on
a de plus
 avec :
cette limite est finie puisque
> 1 donc d'après le théorème de comparaison
série intégrale la
série de Riemman est convergente pour
> 1.
- Série de Bertrand :
Soit ( ; 
) deux réels fixés , la série de Bertrand est la
série :
Cette série est convergente si et seulement si :
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