Produit scalaire de deux vecteurs
( ces définitions ne sont pas forcément rigoureuses et habituelles mais elles se retiennent plus facilement)
  • Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires

Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires et de même sens est le produit des normes de et

Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires et de sens contraires est l'opposé du produit des normes de et

Le produit scalaire de deux vecteurs et est noté .

Exemple :

soient A, B, C sont trois points alignés dans cet ordre tels que
AB = 2, BC = 3 :

  • Produit scalaire de deux vecteurs quelconques

Soient et deux vecteurs quelconques :
. =. ou est la projection orthogonale du vecteur sur le vecteur .
Remarque, on pourrait définir de la même façon :
. = . avec est la projection orthogonale du vecteur sur le vecteur .

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal de H sur la droite (BC) tel que :
AB = 3, AC = 4 et BC = 5, AH = 2,4 ; HB = 1,8.

=
=
=
  • Propriétés sur le produit scalaire :
    quelque soient les vecteurs , , et tout réel a on a :

    Les propriétés 7) et 8) sont des définitions possibles du produit scalaire de deux vecteurs et .
  • Expression analytique du produit scalaire dans le plan muni d'un repère orthonormal
    Si (x ; y) et (x' ; y') sont les coordonnées respectives
    des vecteurs et dans la base orthonormale (; ) alors : . = x x' + y y'
  • Expression analytique du produit scalaire dans l'espace plan muni d'un repère orthonormal (O; ; ; )
    Si (x ; y ; z ) et (x' ; y'; z') sont les coordonnées respectives
    des vecteurs et dans la base orthonormale (; ; ) alors : . = x x' + y y' + zz'


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