Réponse signe d'un polynôme (cas général)

• (3x - 1)² - 4 = [(3x - 1) -2][(3x - 1) + 2] = ( 3x - 3)(3x + 1)

x	-                -1/3           1                   +
3x - 3	-                      -    0            +
3x + 1	-            0       +                  +
(3x- 3)(3x + 1)	-             0      +     0            -

• p(x) = x³ + 4x - 16

factorisation

p(x) = x³ + 4x - 16 , p(2) =2³ + 8 - 16 = 0 donc 2 est une racine de p(x) d'ou p(x) = (x - 2)(ax² + bx + c)

p(x) = ax³ + bx² + cx - 2ax² - 2bx - 2c

= ax³ + bx² + cx - 2ax² - 2bx - 2c =  ax³ + (b - 2a)x² + (c- 2b)x - 2c

Par identification : 

a = 1 , b - 2a = 0, c - 2b = 4 , - 2c = - 16

c'est à dire a = 1, b = 2 , c = 8

p(x) = x³ + 4x - 16= (x - 2)(x² + 2x + 8). 

Signe de p(x)

Le discriminant de x² + 2x + 8 est - 28 < 0 

donc x² - 2x + 8 n'a pas de racine et reste > 0 quelque soit x

x	-                      2                   +
x - 2	-               0            +
x² + 2x + 8	+                             +
x3 + 4x - 16	-                0            +

• 2x³ +5x² + 3x = x (2x² + 5x  + 3)

Le discriminant de 2x² + 5x + 3 est 1 > 0 donc 2 racines pour le polynômes 2x² + 5x + 3 on trouve -1 et -3/2

x	-            -3/2          -1             0                   +
x	-               -              -    0            +
2x² + 5x + 3	+       0      -     0        +                 +
x (2x² + 5x  + 3)	-       0      +    0        -     0           +