Exemples de démonstration par récurrence

Exemple 1 : On considère la suite définie par :

Comment faire pour démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a ?
Il faut déjà bien comprendre les étapes de la démonstration par récurrence :

  • 1 ère étape : initialisation de la récurrence :
    Il faut démontrer la propriété au premier rang :
    le premier rang étant 0 puisque l'on dit dans l'énoncé pour tout entier naturel , il faut démontrer ici que :

  • 2 ème étape : hypothèse de récurrence :
    on suppose qu'il existe un certain rang n pour lequel la propriété est vraie : ici on suppose que :
  • 3ème étape : passage au rang suivant :
    on "s'appuie" sur l'hypothèse de récurrence :

    et ce que l'on sait :

    pour démontrer que la propriété reste vrai au rang n + 1 c'est à dire qu'il faut montrer que :
  • Dernière étape : on en conclut que la propriété est vrai pour tout entier naturel.

Voyons l'exemple 1 résolu avec les différentes étapes :

  • u0 = 2 donc
    donc la propriété est vraie au rang 0.
  • Supposons la propriété vraie au rang n :
    supposons donc que
  • Démontrons que la propriété reste encore vraie au rang n+1 :

    La propriété reste donc encore vraie au rang n +1.
  • La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.

Exemple 2 : on veut démontrer par récurrence la propriété pour tout entier naturel n et tout réel x strictement positif,
(1 + x)n 1 + nx

  • (1 + x)0 = 1 1 + 0 x
    donc la propriété est vraie au rang 0.
  • supposons la propriété vraie pour un certain rang n c'est à dire supposons que (1 + x)n 1 + nx
  • (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n (1 + x)(1 + nx)
    d'où (1 + x)n+1 1 + nx + x + nx²
    (1 + x)n+1 1 + (n+1)x + nx² 1 + (n+1)x
    par conséquent (1 + x)n+1 1 + (n+1)x
    La propriété reste donc vraie au rang n+1
  • elle est donc vraie quelque soit l'entier naturel n