Exemple 1 : On considère la suite définie par :

Comment faire pour démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a ?
Il faut déjà bien comprendre les étapes de la démonstration par récurrence :

• 1 ^ère étape : initialisation de la récurrence :
  Il faut démontrer la propriété au premier rang :
  le premier rang étant 0 puisque l'on dit dans l'énoncé pour tout entier naturel , il faut démontrer ici que :
  
  
• 2 ^ème étape : hypothèse de récurrence :
  on suppose qu'il existe un certain rang n pour lequel la propriété est vraie : ici on suppose que :
  
• 3ème étape : passage au rang suivant :
  on "s'appuie" sur l'hypothèse de récurrence :
  
  et ce que l'on sait :
  
  pour démontrer que la propriété reste vrai au rang n + 1 c'est à dire qu'il faut montrer que :
  

• Dernière étape : on en conclut que la propriété est vrai pour tout entier naturel.
  
  

Voyons l'exemple 1 résolu avec les différentes étapes :

• u₀ = 2 donc
  donc la propriété est vraie au rang 0.
• Supposons la propriété vraie au rang n :
  supposons donc que
• Démontrons que la propriété reste encore vraie au rang n+1 :
  
  La propriété reste donc encore vraie au rang n +1.
  
• La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.
  

Exemple 2 : on veut démontrer par récurrence la propriété pour tout entier naturel n et tout réel x strictement positif,
(1 + x)ⁿ 1 + nx

• (1 + x)⁰ = 1 1 + 0 x
  donc la propriété est vraie au rang 0.
• supposons la propriété vraie pour un certain rang n c'est à dire supposons que (1 + x)ⁿ 1 + nx
• (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)(1 + x)ⁿ (1 + x)(1 + nx)
  d'où (1 + x)ⁿ⁺¹ 1 + nx + x + nx²
  (1 + x)ⁿ⁺¹ 1 + (n+1)x + nx² 1 + (n+1)x
  par conséquent (1 + x)ⁿ⁺¹ 1 + (n+1)x
  La propriété reste donc vraie au rang n+1
• elle est donc vraie quelque soit l'entier naturel n