Soit c un entier naturel fixé tel que est un irrationnel c'est à dire un nombre ne pouvant pas se mettre sous la forme d'un quotient de deux entiers relatifs.
Considérons l'ensemble E des nombres ou a , b sont des nombres rationnels quelconques, E est un sous ensemble de

La somme de deux éléments quelconque de E est toujours un élément de E , de même que le produit :

L'addition est une loi interne sur E, elle est associative admet un élément neutre dans E : 0 , tout élément de E admet un symétrique pour cette loi (son opposé ) , de plus cette loi est commutative donc (E,+) est donc un groupe commutatif.
La multiplication est une loi interne sur E, elle est associative et admet un élément neutre dans E : 1, tout élément de E - {0} admet un symétrique pour cette loi , et on a :

la multiplication est de plus commutative donc
(E-{0}, x) est un groupe commutatif.
En conclusion (E, +, x) est un corps commutatif.

Comment déterminer la racine carrée de dans certains cas.
Supposons que où a et b sont des entiers relatifs admette comme racine carrée où et sont des entiers relatifs on a :

On veut déterminer la racine carrée de

Il faut trouver deux carrés ² et ² tels que ² + 3 ² = 28
16 + 3 x 4 = 28 , les nombres (; ) = ( 4 ; 2) est donc solution du systéme, vérifions :


d'autre exemples ?
+ ( + ) ²