Activité d'approche
Définition : La racine carrée d'un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré est x.

C'est à dire soit x un nombre réel positif, la racine carrée de x est le nombre positif r tel que r² = x.

Quelques exemples simples pour comprendre :

• la racine carrée du nombre réel 9 est 3, en effet 3 est positif et 3² = 9
• la racine carrée du nombre réel 16 est 4, en effet 4 est positif et 4² = 16
• la racine carrée du nombre réel 16/9 et 4/3 , en effet 4/3 est positif et (4/3)² = 16/9.

Dans certains cas, il n'est pas possible de donner une valeur exacte de la racine carrée du nombre, la notation suivante permet de lever le problème. Pour tout nombre réel positif on note la racine carrée du nombre réel x.

Exemple : on ne peut trouver que la valeur approchée de la racine carrée du nombre 2, même si la calculatrice peut vous fait croire le contraire en renvoyant 2 quand vous élevez au carré le nombre 1,414213562373095 ce n'est pas la valeur exacte de racine carrée donc on ne peut mettre que
1,414213562373095 utilisez plutôt la calculatrice grands nombres en élevant au carré le nombre a = 1.414213562373095 et vous serez peut être surpris de voir que cela ne tombe pas juste. La notation que l'on utilise pour la valeur exacte de la racine carrée de 2 est donc , de la même façon que l'on utilise la lettre pour définir le rapport du périmètre d'un cercle sur son diamètre, par contre vous pouvez déterminer un encadrement de par deux nombres décimaux positifs.

Quelles sont les notations que l'on peut rencontrer ?

La racine carrée n'est pas définie pour un nombre négatif, puisque le carré d'un nombre quelconque est toujours positif.
C'est à dire que vous ne verrez pas les notations suivantes, elles sont incorrectes :

par contre les notations suivantes sont tout à fait correctes :

puisque le nombre qui se trouve sous le radical est positif.

Propriétés algébriques

• carré d'une racine carrée :
  par définition pour tout réel positif a on a :
  
• racine carrée d'un produit :
  soient a et b deux réels positifs on a :
  démonstration :
  
• racine carrée d'un quotient :
  soient a un réel positif et b un réel strictement positif on a :
  
  démonstration :
  
• racine carrée d'un carré :
  soit a un réel quelconque on a :
  
  démonstration :|a| est un nombre positif et |a|² = a²

Exemples de calculs expliqués avec les propriétés :

• Comment déterminer un encadrement de la racine carrée d'un nombre entier
• Exercices à volonté avec les racines carrées ( 3 ^ème)
• Racine carrée d'un nombre de la forme
• Fonction racine carrée (2 nde )
• Encadrement de racine carrée de 2 par des rationnels
• Table des racines carrées de nombre entier naturel (3 ^ème)
• Méthode de Héron pour déterminer la valeur approchée de la racine carrée
• Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient.
• Exercice intéractif sur les racines carrées