Quartiles d'une série statistique
Variable discréte :
Définition par la médiane
.
Le premier quartile et le troisième quartile d'une série statistique rangée dans l'ordre croissant (x1 , x2 , x3 , x4 , ....., xn) sont les nombres Q1 et Q3 définis de la façon suivante :
Si M = Q2 est la médiane de cette série, M partage la série la série
(x1 , x2 , x3 , x4 , ....., xn) en deux séries de même effectif :
(x1 , x2 , x3 , x4 , ....., xp) et (xp+1 , xp+2 , xp+3 , xp+4 , ....., xn)
la première série contient les modalités inférieur ou égales à Q2
la seconde série contient les modalités supérieur ou égales à Q2
Les nombres Q1 et Q3 sont donc alors les médianes respectives de ces deux séries.
Définition directe.
Le premier quartile et le troisième quartile d'une série statistique rangée dans l'ordre croissant (x1 , x2 , x3 , x4 , ....., xn) sont les nombres Q1 et Q3 définis de la façon suivante :
- si n/4 est un entier , le premier quartile Q1 est le terme de rang n/4 et le troisième quartile Q3 est le terme de rang 3n/4.
- si n/4 n'est pas un entier, Q1 et Q3 sont respectivement les termes de rang immédiatement supérieur à n/4 et 3n/4.
Remarque :
Le paramètre Q1 permet de dire que 25 % environ de la population étudiée a une modalité inférieure à la Q1 et 75 % une modalité supérieure à la Q1.
Le paramètre Q3 permet de dire que 75 % environ de la population étudiée a une modalité inférieure à la Q3 et 25 % une modalité supérieure à la Q3.
On peut définir aussi les quartiles Q1, Q2, Q3 comme des valeurs permettant de couper une population ordonnée en quatre groupe contenant chacun le même nombre d'élément.
Exemple : on fait une étude statistique sur les 50 notes attribuées par un jury à un examen, voici les résultats obtenus en classant ces notes par ordre croissant (variable discrète ).
n/4 = 12,5 ce n'est pas un entier donc le premier quartile est le terme de rang 13 soit Q1 = 5
3n/4 = 37,5 ce n'est pas un entier donc le troisième quartile est le terme de rang 38 soit Q3 = 13

Construction du diagramme en boite , pour le construire il faut :
La valeur minimale de la série : 0
Le premier quartile Q1 = 5
Le second quartile ou la médiane Q2 = 9,5
Le troisième quartile Q3 = 13
La valeur maximale de la série : 20

Variable continue
Si la variable est continue ( regroupement par intervalle des résultats ) le calcul de la quartiles se fait autrement :

Les quartiles se calculent alors par interpolation linéaire.
Construisons le polygone des effectifs cumulés croissants :

Les nombre Q1 , Q2 , Q3 correspondent aux effectifs cumulés n/4 , n/2 et 3n/4 ( soit 12,5 ; 25 et 37,5 )
Par interpolation linéaire on :



Construction du diagramme en boite , pour le construire il faut :
La valeur minimale de la série : 0
Le premier quartile Q1 = 5,94
Le second quartile ou la médiane Q2 = 10,33
Le troisième quartile Q3 = 14,05
La valeur maximale de la série : 20

Exercice interactif : calcul des paramètres d'une série statistique continue