L'équation différentielle y' = 3y admet pour solutions les fonctions f définie sur
par f (x) = k e3x où k est une constante réelle ( c'est l'application directe du cours )
Parmi ces fonctions laquelles est solution de l'équation différentielle y ' + y = x + 1
la bonne réponse est donc f (x) = e-x + x
L'équation différentielle y' - 2y = 0 admet pour solutions les fonctions f définies sur
par f (x) = k e2x où k est une constante réelle ( application directe du cours )
par f (x) = a cos 2x + b sin 2x où a et b sont deux constantes réelles en effet l'équation est de la forme
y'' +
²
y = 0 où
= 2. ( application directe du cours )
par f (x) = 2x + k où k est une constante réelle
En effet on cherche les fonctions f telles que f' (x) = 2 , c'est à dire les primitives de la fonction constante d'où le résultat.
par f (x) = x3 + ax + b où a et b sont deux constantes réelles
En effet on cherche d'abord les fonctions f ' telles que f '' (x) = 6x , ce sont les primitives de la fonction linéaire x
6xD'où f '(x) = 3x² + a où a est une constante réelle.
On cherche ensuite les fonctions f telles que f '(x) = 3x² + a, ce sont les primitives de la fonction x
3x² + a
D'où f (x) = x3 + ax + b où a et b sont deux constantes réelles
par f ( x)
= xex est solution de l'équation différentielle
: 
f solution de l'équation y' = y donc f est définie par :
où k est une constante réelle.
De plus f est telle que f ( 1 ) = 2 d'où ke = 2 soit k = 2/e
)
= -1 n'existe pas. f solution de l'équation y '' + 4y = 0 donc f définie par :
f (x) = a cos 2x + b sin 2x où a et b sont deux constantes réelles
De plus f (0) = 0 et f (
)
= -1 par conséquent : a + b
0 = 0
et a + b 0
= -1 soit a = 0 et a = -1 ce qui est impossible Question 10 : Résoudre l'équation différentielle (E) : 4y '' + 9y = 0
4y '' + 9y = 0 équivaut à y '' + 9/4 y = 0 équivaut à y '' + (3/2)² y = 0
Les solutions sont les fonctions f définies sur
par f (x) = a cos (3x/2) +
b sin (3x/2) où a et b sont
deux constantes réelles ( application directe du cours )
Question 11 : Déterminer la solution particulière g de l'équation (E) telle que g( 0) = 1 et g (
)
= 0 g(x) = a cos (3x/2) + b sin (3x/2) et g( 0) = 1 et g (
)
= 0g(0) = 1 d'où a = 1
g (
) = 0 d'où
a cos (3/2)
+ b sin (3/2)
= 0 soit b = 0 g(x) = cos (3x/2)
)
= 2h(x) = a cos (3x/2) + b sin (3x/2) et h( 0) = 1 et h (
/2)
= 2h(0) = 1 d'où a = 1
h (
/2) = 2 d'où
a cos (3/2)
+ b sin (3/2)
= 2 soit - b = 2 d'où b = -2on a donc h (x) = cos (3x/2) - 2 sin (3x/2)
Résoudre l'équation différentielle (E) : 2y ' + y = 0
Les solutions sont les fonctions f définies sur
par f (x) = k e-x/2 où k
est une constante réelle En effet : 2y' + y = 0 équivaut à y' = (-1/2)y
Soit g la solution particulière de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées ( 2 ; e ) alors :
g(2) = e d'où k e-2/2 = e , k/e = e d'où k = e²
g (x) = e² e-x/2
Soit h la solution particulière de (E) dont la courbe représentative admet une tangente de coefficient directeur -1 au point d'abscisse 2 alors h'(2) = -1
Les solutions sont les fonctions f
définies sur
par f(x) = ke3x - 2/3 où
k est une constante réelle ( application directe du cours )Les solutions sont les fonctions f définies sur
par f (x) = aex- x + b
où a et b sont deux constantes réellesEn effet , si f une solution de l'équation différentielle y'' = y' + 1 alors f ' est solution de l'équation différentielle y' = y + 1
d'où f ' (x) = aex - 1 , f est donc une primitive de la fonction f ' d'où
f (x) = aex- x + b où a et b sont deux constantes réelles
Question 18 : Une fonction
f est solution de l'équation différentielle y'
= 2y + ex
Que peut - on en déduire de la fonction g définie
par f(x) = g(x) - ex
g est solution de l'équation différentielle y'
= 2y
en effet : f '(x) = 2f(x)
+ ex
g ' (x) -
ex = 2(g(x)
- ex) +
ex d'où
g ' (x) -
ex = 2g(x)
-2 ex +
ex d'où
g'(x) = 2g(x) d'où
g solution de l'équation différentielle y' = 2y
les fonctions f définies sur
par f(x) = k sin(x/2) où k est
une constante réelleEn effet :
4y'' + y = 0 équivaut à y'' + (1/2)² y = 0
f est de la forme f(x) = a cos(x/2) + b sin(x/2)
f(0) = 0 d'où a = 0 soit f(x) = b sin(x/2)
les solutions sont donc les fonctions f définies sur
par f(x) = k sin(x/2) où k est
une constante réelle par h(x) = f(x) - g(x) est telle que :
f'(x) - 2f(x) = 4x
g'(x) - 2g(x) = 4x
en soustrayant membre à membre ces deux équations on obtient :
f '(x) - g'(x) - 2(f(x) - g(x) ) = 0
h' (x) = 2h(x)
h solution de l'équation différentielle y' = 2y soit h définie par h(x) = ke2x où k est une constante réelle
