| Énoncé |
| Une usine produit deux modèles de machines, l'une que l'on appellera modèle A exige 2 kg de matière première et de 30 heures de fabrication et donne un bénéfice de 7 €. L'autre que l'on appellera B exige 4 kg de matière première et de 15 heures de fabrication et donne un bénéfice de 6 € . On dispose de 200 kg de matière première et de 1200 h de travail. Quelle production doit on avoir pour obtenir un bénéfice maximal ? |
| Comment résoudre un tel problème ?
La production dépend de deux paramètres
|
On veut déterminer le nombre de machines de chaque modèle
afin d'obtenir un bénéfice maximal.
Soit y le nombre de machines de modèle B à produire Une première contrainte évidente : x et y sont tout deux positifs et plus exactement ce sont des entiers naturels : x
0 et y 0
Il s'agit dans un premier temps de traduire l'énoncé en un système : |
| Énoncé | Traduction |
| Le modèle A exige 2 kg de matière première et de 30 heures de fabrication et donne un bénéfice de 7 € | x machines de modèle A représente 2x kg de matière première, 30x heures de fabrication et un bénéfice de 7x € |
| Le modèle B exige 4 kg de matière première et de 15 heures de fabrication et donne un bénéfice de 6 € | y machines de modèle A représente 4y kg de matière première, 15y heures de fabrication et un bénéfice de 6y € |
| On dispose de 200 kg de matière première. |
2x + 4y |
| On dispose de 1200 h de travail. |
30x + 15y |
|
Bénéfice = |
7x + 6y |
| Les couples (x, y) d'entiers naturels doivent vérifier : | |
|
et doivent rendre maximum le nombre b = 7x + 6y |
|
Ce dernier système est obtenu en isolant y dans les deux dernières inéquations. |
| 2. Construction
du polygone des contraintes.
Il faut d'abord déterminer les couples (x, y ) vérifiant le système . |
|
| La méthode graphique consiste à construire les demi-plans correspondant à chaque inéquation du système. Chaque demi-plan est délimité par une droite. | |
| Les points de coordonnées (x, y) vérifiant l'inégalité
x 0 sont
les points appartenant au demi-plan des abscisses positives, ce demi-plan
est délimité par la droite d'équation x = 0 . |
|
| Les points de coordonnées (x, y) vérifiant l'inégalité
y 0 sont
les points appartenant au demi-plan des ordonnées positives, ce demi-plan
est délimité par la droite d'équation y = 0 . |
|
Les points de coordonnées (x, y) vérifiant l'inégalité
y 
-x/2 + 50 sont les points appartenant à l'un des demi-plans délimités
par la droite d'équation y = -x/2+50 . Le demi-plan convenable celui
qui est "au dessous" (
)de la droite d'équation y = - x/2 + 50. |
|
| Les points de coordonnées (x, y) vérifiant l'inégalité
y
-2x + 80 sont les points appartenant à l'un des demi-plans délimités
par la droite d'équation y = -2x + 80 . Le demi-plan convenable celui
qui est "au dessous" (
)de la droite d'équation y = - 2x + 80. |
|
| On choisit de colorié en gris la partie qui ne convient pas. | |
 |
|
| La partie qui contient les coordonnées acceptable est l'intérieur du polygone. | |
| 3 . Optimisation | |
|
On a vu que Bénéfice = 7x + 6y |
|
| Le bénéfice est fonction de x et y. Si on veut par exemple un bénéfice de 300 € il faut que x et y vérifient 7x + 6y = 300 , c'est à dire encore y = - (7/6)x + 50 , il y a bien sur plusieurs possibilités, en fait plusieurs couple de nombres x et y sont solutions, ce sont les couples de coordonnées (x ; y ) de points appartenant à la droite d'équation y = - (7/6)x + 50 | |
| A n'importe quel bénéfice b correspond une droite D d'équation y = - (7/6)x + b/6 . toutes les droites tracées ont même coefficient directeur -(7/6) l'ordonnée à l'origine b/6 est variable par contre. Plus haut la droite coupe l'axe des ordonnées plus grand est b/6. ( plus grand est donc l'ordonnée à l'origine) . Il s'agit donc de déterminer une droite passant par des points du domaine qui coupe l'axe des ordonnées le plus haut possible. | |
Il faut déterminer les coordonnées du point d'intersection
des deux droites, si elles sont entière le bénéfice maximum sera atteint
pour x et y trouvés. |
 |
| Le bénéfice maximum est donc atteint pour x = 20 et y =40 il est de : b = 7x + 6y = 140 + 240 = 380 € | |
| Ce problème peut se résoudre avec
la méthode du simplexe Voir exemple paramétrable |
|
 
|
 |
|