Définition :
Soient 
, 
et 
trois vecteurs de
l'espace , on appelle le produit mixte des trois vecteurs ,
et
le réel noté [ ,
, ]
tel que :
[ , ,
] =
. ( 
)
Propriétés : soient ,
,
et 
4 vecteurs de l'espace
:
- le produit mixte change de signe par permutation de deux vecteurs
.
Exemple : [, ,
] = - [ ,
, ]
- le produit mixte reste inchangé par permutation circulaire
des trois vecteurs.
Exemple : [,
, ]
= [, ,
] = [,
, ] - pour tout réel a on a :
[a, ,
] = [ ,
a, ]
= [ , ,
a] = a[ ,
, ] - [ +
, , ]
= [ , ,
] + [
, , ]
[ , +,
] = [
, , ]
+ [ , ,
]
[ , ,
+]
= [ , ,
] + [
, , ] - , ,
sont coplanaires
si et seulement si [ ,
, ]
= 0
- | [ , ,
] | est le volume
du parallélépipède
engendré par
,
, - [ , ,
] = det ( ,
,
) ( le produit mixte de trois vecteurs est le déterminant
de la matrice formé par les coordonnées des trois vecteurs
, ,
dans une base
orthonormale (
,
,
) ) .
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