Un polynôme de Tchebitchev est défini par :



ou n est un entier naturel

Exemple :


Relation de reccurence de T_n
on démontre que la suite T_n des polynômes vérifie la relation de récurrence :
 
pour tout entier naturel n.

le polynôme de Tchebitchev de degré n =


démonstration


Degré du polynôme de Tchébitchev

Un polynôme de Tchebitchev défini par

ou n est un entier naturel est un polynôme de degré n : la démonstration peut se faire par récurrence :
T₀ et T₁ sont respectivement de degré 0 et 1, supposons que pour un certain rang p on a T_p et T_p+1 respectivement de degré p et p+1, on a alors Tp+2 qui est un polynôme de degré p+2 puisqu'il est différence d'un polynôme de degré p+2 et d'un polynôme de degré p +1 ( voir relation de récurrence ) , on en déduit que T_p+3 est un polynôme de degré p+3, par conséquent T_p est un polynôme de degré p.

Coefficient du monôme de plus degré de T_n

Le coefficient du monôme de plus haut degré de T_n est 2n-1 pour tout entier naturel n non nul .
La propriété est vraie à l'ordre 1 et à l'ordre 2 , supposons la vraie jusqu'à un certain rang n on a :

d'où le résultat.

Parité du polynôme de Tchebitchev

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel p on :
T_2p est pair , T_2p+1 impair.
- La propriété est vraie au rang p = 0 en effet T₀ est pair et T₁ est impair
- Supposons la propriété vraie pour un certain rang n = 2p, on a donc :

- Démontrons que la propriété reste vraie au rang suivant :


la propriété restant vraie pour p+1, elle est vraie pour tout entier naturel p.