Polynôme du second degré : ax² + bx + c
1) - Différentes formes d'un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré peut être mis sous plusieurs formes :
le polynôme p(x) = x² - 6x + 5 est sous la forme développée, mais il peut être mis sous la forme
- canonique : x² - 6x + 5 = x² - 6x + 9 - 4 = (x - 3)² - 4
- factorisée (x - 3)² - 4 = (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = (x - 5)(x - 1)
3 formes courantes pour un polynôme du second degré :
- Forme développée : ax² + bx + c ( où a,b,c sont des réels).
- Forme canonique : la variable x n'apparaît qu'une seule fois.
- Forme factorisée : le polynôme est sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
Un polynôme du second degré peut toujours se mettre sous les 2 formes : développée et canonique. ( voir démonstration)
Pour passer d'une forme à l'autre il faut quelques bases en calcul littéral.
2) - Forme canonique et racines d'un polynôme du second degré .
En mettant un polynôme du second degré sous la forme canonique, trois cas peuvent se produirent exemple :
1 er cas Le polynôme 4x² + 4x + 9 = 4x² + 4x + 1 + 8 = (2x + 1)² + 8
la dernière expression obtenue est la forme canonique de ce polynôme.
On remarque que sa forme canonique est une somme de 2 nombres
positifs (dont l'un est strictement positif) : (2x + 1)² et 8. Donc il ne peut pas s'annuler quelque soit la valeur de x.
(autrement dit il n'a pas de racines réelles)
2 ème cas Le polynôme x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Ici, la forme canonique et la forme factorisée correspondent.
La seule valeur pouvant annuler (x + 3)² est - 3.
(autrement dit une seule racine)
3 ème cas Le polynôme x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 4 = (x + 1)² - 4
La forme canonique de se polynôme est de la forme a² - b² .
Le polynôme peut donc être factorisé.
(x + 1)² - 4 = (x + 1 - 2)(x + 1 + 2) = (x - 1)(x + 3)
l'équation (x - 1)(x + 3) = 0 admet 2 solutions 1 et -3.
( autrement dit 2 racines )
Quelque soit le polynôme du second degré choisi, la forme canonique sera soit une différence de 2 carrés, soit une somme de deux nombres positifs, soit un carré à un coefficient réel prés.
Conclusion : ( dans l'ensemble des nombres réels ) un polynôme du second degré peut admettre soit aucune racine , soit une racine, soit 2 racines
3) - Discriminant d'un polynôme du second degré
Visualisation avec Applet Geogebra
Dans le cas général on trouve pour la forme canonique d'un polynôme du second degré ax² + bx + c :
Forme canonique
ou le nombre
D = b² - 4ac appelé discriminant du polynôme
ax² + bx + c joue un rôle important pour la recherche des racines.

- Si
D < 0, à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une somme de 2 nombres positifs dont l'un est strictement positif, ax² + bx + c n' a pas de racines réelles (ne pouvant pas s'annuler).

- Si
D = 0 , la forme canonique est réduite à :
forme canonique réduite
donc une seule racine : x0= - b/2a pour ax² + bx + c.
- Si
D > 0 , à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une différence de 2 carrés.
On obtient après avoir factorisé (A² - B² = (A - B)(A + B)) les 2 racines du polynômes
4) propriétés des racines d'un polynôme du second degré
Dans le cas ou le polynôme ax² + bx + c admet deux racines x1 et x2
en posant S
= x1 + x2 et P = x1x2 la somme et le produit des racines
On obtient une relation entre S, P, a, b, c :
le produit et la somme des deux racines sont calculables à partir des coefficient de ax² + bx + c
Si on connaît le produit et la somme de deux nombres réels,on peut en déduire que ces nombres sont solutions del'équation
x² - Sx + P = 0.