Polynôme du second degré  : ax² + bx + c

1) - Différentes formes d'un polynôme du second degré Un polynôme du second degré peut être mis sous plusieurs formes :  le polynôme p(x) = x² - 6x + 5 est sous la forme développée, mais il peut être mis sous la forme  - canonique  : x² - 6x + 5 = x² - 6x + 9 - 4 = (x - 3)² - 4  - factorisée (x - 3)² - 4 = (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = (x - 5)(x - 1)

3 formes courantes pour un polynôme du second degré : - Forme développée : ax² + bx + c ( où a,b,c sont des réels). - Forme canonique :  la variable x n'apparaît qu'une seule fois. - Forme factorisée : le polynôme est sous forme d'un produit de  facteurs du premier degré.

Un polynôme du second degré peut toujours se mettre sous les 2 formes : développée et canonique. ( voir démonstration)

Pour passer d'une forme à l'autre il faut quelques bases en calcul littéral.

2) - Forme canonique et racines d'un polynôme du second degré . En mettant un polynôme du second degré sous la forme canonique, trois cas peuvent se produirent exemple : 1 er cas  Le polynôme 4x² + 4x + 9 = 4x² + 4x + 1 + 8 = (2x + 1)² + 8 la dernière expression obtenue est la forme canonique de ce polynôme.  On remarque que sa forme canonique est une somme de 2 nombres positifs (dont l'un est strictement positif) : (2x + 1)² et 8. Donc il ne peut pas s'annuler quelque soit la valeur de x.  (autrement dit il n'a pas de racines réelles) 2 ème cas  Le polynôme x² + 6x + 9 = (x + 3)² Ici, la forme canonique et la forme factorisée correspondent. La seule valeur pouvant annuler (x + 3)² est - 3. (autrement dit une seule racine) 3 ème cas  Le polynôme x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 4 = (x + 1)² - 4 La forme canonique de se polynôme est de la forme a² - b² . Le polynôme peut donc être factorisé. (x + 1)² - 4 = (x + 1 - 2)(x + 1 + 2)  = (x - 1)(x + 3) l'équation (x - 1)(x + 3) = 0 admet 2 solutions 1 et -3. ( autrement dit 2 racines )

Quelque soit le polynôme du second degré choisi, la forme canonique sera soit une différence de 2 carrés, soit une somme de deux nombres positifs, soit un carré à un coefficient réel prés.

Conclusion : ( dans l'ensemble des nombres réels ) un polynôme du second degré peut admettre soit aucune racine , soit une racine, soit 2 racines

3) - Discriminant d'un polynôme du second degré Visualisation avec Applet Geogebra Dans le cas général on trouve pour la forme canonique d'un polynôme du second degré ax² + bx + c : ou le nombre D = b² - 4ac appelé discriminant du polynôme  ax² + bx + c joue un rôle important pour la recherche des racines. - Si D < 0, à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une  somme de 2 nombres positifs dont l'un est strictement positif, ax² + bx + c n' a pas de racines réelles (ne pouvant pas s'annuler) . - Si  D = 0 , la forme canonique est réduite à :  donc une seule racine : x0= - b/2a pour ax² + bx + c. - Si  D > 0 , à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une différence de 2 carrés. On obtient après avoir factorisé (A² -  B² = (A - B)(A + B)) les 2 racines du polynômes

4) propriétés des racines d'un polynôme du second degré Dans le cas ou le polynôme ax² + bx + c admet deux racines x1 et x2 en posant S = x1 +  x2  et P = x1x2  la somme et le produit des racines  On obtient une relation entre S, P, a, b, c :

le produit et la somme des deux racines sont calculables à partir des coefficient de ax² + bx + c  Si on connaît le produit et la somme de deux nombres réels, on peut en déduire que ces nombres sont solutions de l'équation  x² - Sx + P = 0.