Racine d'un polynôme :
Soit a un nombre réel, et p(x) un polynôme.
On dit que a est une racine ou un zéro de
p(x) si p(a) = 0. (
c'est à dire si l'image de a par la fonction polynôme est
0)
Exemples :
- le nombre -2 est une racine du polynôme
p(x) = x² + 3x + 2 , en effet p(-2) = 4 - 6 + 2 = 0
- le nombre 1 est racine du polynôme
p(x) = (x - 1)(x² + 2x - 5) car
p(1) = (1 - 1)(1² + 2 - 5) = 0 × (- 3) = 0
Il est équivalent de dire : "a est une racine de p(x)" ou "a est une solution de l'équation p(x) = 0"
Comment trouver les racines d'un polynôme :
1 ère méthode : on teste plusieurs valeurs et si on tombe sur une qui annule le polynôme... gagné ! ( bon courage si le nombre n'est pas un entier relatif )
2 ème méthode : on résout l'équation p(x) = 0
On s'arrange pour mettre le polynôme sous la forme d'un produit dont les facteurs sont du premier ou second degré et on utilise la règle du produit nul.
Factorisation d'un polynôme connaissant les
racines d'un polynôme :
Propriété :
si un nombre réel a est une racine d'un polynôme
p(x) alors le polynôme p(x) peut être mis sous la forme d'un produit
de facteurs dont l'un est (x - a)
et réciproquement
si
Cette propriété est trés utile pour factoriser un
polynôme quand on connait une de ses racines (voir
méthode de factorisation )
Complément sur les racines
Généralisation
de la propriété précédente
:
la propriété précédente peut être généralisée
si 
sont les m racines
d'un polynôme p(x) alors p(x) peut se mettre sous la forme :
ou q(x) est un polynôme (tel que deg q + m = deg p)
(voir exemple paramétrable
pour un polynôme du 4ème degré )
Multiplicité d'une racine
(bac +)
Soit p(x) un polynôme, 
un nombre réel
et n un entier naturel , on dit
est une racine
d'ordre n du polynôme p(x) si le p(x) est divisible par 
sans l'être par 
Exemple paramétrable
Propriété : pour que
soit une racine d'ordre n du polynôme p(x) il faut et il suffit
que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre n-1
s'annulent en
sans que la dérivée d'ordre n
s'annule en :
