Définition : On appelle polynôme P à coefficients dans K (où K est un corps commutatif K ) toute suite d'éléments de K telle qu'à partir d'un certain rang tout les termes sont nuls (on peut donc compter les éléments non nuls de la suite )
Les nombres a_i sont appelés coefficients du polynôme P.
Donc la notation d'un polynôme pourrait être par exemple :
P = a₀,a₁,a₂,a₃, ...,a_n, 0,0,0,0,0,........
On verra par la suite quelle est la notation définitive utilisée pour les polynômes.
L'ensemble des polynômes à coefficient dans K est noté K[X].

Cas particulier :
Si le polynôme ainsi défini admet un seul de ses coefficients non nul on l'appelle monôme :
P = 0,0,0,0,0,a_k, 0,0,0,0,0,........

Si le polynôme ainsi défini admet tous ses éléments nuls alors on l'appelle polynôme nul :
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,........

On appelle enfin degré d'un polynôme P le plus grand des indices de coefficient non nul :
P = a₀,a₁,a₂,a₃, ...,a_n, 0,0,0,0,0,........
(a_n 0)

Opérations sur les polynômes
Soient P = et Q = deux polynômes de K[X] on définit la somme P+ Q de la façon suivante :
P = a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_i, a_i+1,....
Q = b₀, b₁, b₂, b₃,..., b_i, b_i+1,....
P+Q = (a₀+b₀) ,(a₁+b₁) , ........., (a_i+b_i) , (a_i+1+b_i+1) , .....

le produit du polynôme P par tout réel : P est défini par :
P = a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_i, a_i+1,....

le produit des polynômes P et Q : noté PQ est défini par :

On démontre que l'ensemble des polynômes muni de la loi + et de la loi multiplicative externe définies ci-dessus a une structure d'espace vectoriel sur K et même avec la loi multiplicative interne une structure de K algébre .
Notation définitive d'un polynôme
En posant X = 0, 1, 0, 0,
( X est un monôme particulier )
On admet que l'ensemble des monômes suivants définissent une base de l'espace vectoriel des polynômes :
X⁰ = 1,0,...........
X¹ = 0,1,0,...........
X² = X X = 0, 0,1,0,...........
X³ = X² X = 0, 0,0,1,0,..........

d'ou l'écriture adoptée pour les polynômes