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[PierreA]

Bonsoir, voilà, je suis en Premiere S et j'ai cet exercice a faire dans le cadre d'un DM, mais je ne trouve vraiment pas la derniere réponse...
Merci de votre aide

Soit f la fonction définie sur R par: f(x)=(1+x)^3 et Cf sa courbe représentative.
1.a) Calculer la dérivée de f en remarquant que : f(x)=(1+x)²(1+x)
->u=(1+x)² v=(1+x)
u'=2+2x v'=1
donc f'(x)=2+2x
1.b)Déterminer une équation de la tangente T a Cf au point d'abscisse 0.
->y=f'(a)(x-a)+f(a) f'(0)=2 et f(0)=1
y=2(x-0)+1
soit y=2x+1
2.Dans cette question, on s'intéresse à la position de la courbe Cf par rapport à la tangente T.Pour cela, on va déterminer le signe de (1+x)^3-(1+3x).
a)Soit g la fonction définie sur R par : g(x)=(1+x)^3-(1+3x). Etudier le sens de variation de g, puis en déduire son signe sur [-2;2]
->Calcul de la dérivé : u=(1+x)^3 v=1+3x
u'=3x²+6x+3 v'=3
donc g'(x)=3x²+6x
calcul de : =36, donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.
Donc g'(x) est negatif sur [-2;2] et g(x) est décroissante sur [-2;2].
b)Quelle inégalité peut-on en déduire concernant (1+x)^3
Et c'est ici que je ne trouve pas la réponse, ça fait 2h que j'essaye.

[marcel]

Il y a un certain nombre d'erreurs dans tes réponses.
question1a)
f(x)=(1+x)³=(1+x)²(1+x)
en posant u=(1+x)² et v=1+x

alors f ' =u'v+v'u et non pas u'v' .

Tu trouveras f '(x)=3(1+x)².

Question 1b)
f(0)=1 Exact
f '(0)= 3

alors l'équation de la tangente est :.... y=3x+1

Question 2a) Position de la courbe par rapport à sa tangente
On étudie g(x)=(1+x)³-(3x+1)

Au passage on te donnait la réponse à la question 1b) à savoir l'équation de la tangente y=3x+1.

Sa dérivée est bien g '(x)=3x²+6x ( Remarque : comment as tu trouvé cette fois ci la dérivée de (1+x)³ ?)
Cette dérivée est du signe de a (donc positive) sur les intervalles ]-; -2[ ] 0 ; +[ et négative sur ]-2;0[
En effet les racines du trinôme sont -2 et 0;

Ainsi g est décroissante sur ]-2;0[ et croissante sur ]0;2];
elle admet un minimum local en x=0 qui vaut g(0) soit 0.
Alors sur [-2;2] les valeurs de g(x) sont toutes positives;

2b) conclusion sur cet intervalle [-2;2] (1+x)³-(3x+1) 0

donc (1+x)³ est supérieur ou égal à 3x+1

La courbe représentant (1+x)³ est toujours au dessus de sa tangente sur cet intervalle.

Marcel
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