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[amira]

L’objet de ce problème est d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0;+∞[ par :
f(x) = ex − 1
ex − x
.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
PARTIE A - Questions préliminaires
1. Soit g la fonction définie sur [0;+∞[ par : g(x) = ex − x − 1.
(a) Montrer que pour tout x > 0, on a g(x) > 0. En déduire le sens de variation
de g sur [0;+∞[.
(b) Calculer g(0). En déduire que, pour tout x > 0, on a g(x) > 0.
2. Soit h la fonction définie sur [0;+∞[ par : h(x) = (2 − x)ex − 1.
(a) Etudier la fonction h et dresser son tableau de variations (on calculera
notamment la limite de la fonction h en +∞).
(b) Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution et une seule, α, et que
l’on a α > 1.
(c) Vérifier la double inégalité : 1, 84 < α < 1, 85.
(d) Préciser, suivant les valeurs du nombre réel x
0, le signe de h(x).
PARTIE B - Etude de la fonction f
1. (a) Justifier que f est définie en tout point de [0;+∞[.
(b) Montrer que pour tout x
0, on peut écrire : f(x) =
1 − e−x
1 − xe−x .
En déduire lim
x→+∞f(x) ; interpréter géométriquement, relativemant à C, le
résultat obtenu.
(c) Montrer que, pour tout x
0, f(x) = h(x)
(ex − x)2 .
(d) Etudier la fonction f et dresser son tableau de variations.
2. (a) Montrer que, pour tout x
0, f(x) − x =
(1 − x)g(x)
ex − x
.
(b) En déduire, suivant les valeurs du nombre réel x
0, la position de la
courbe C par rapport à la droite d’équation y = x.
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merci d'avance

[marcel]

Tout d'abord , pour rendre ton énoncé lisible , il faudrait utiliser les parenthèses pour bien préciser la valeur du numérateur et du dénominateur de chaque quotient ; ensuite pour les exposants utilise l'écriture e^x à l'aide de l'éditeur http://homeomath.imingo.net/editeur.htm

Partie A)
1a) g(x)= e^x -x-1
Ecris la dérivée g'(x) , et pour x >0 alors e^x > 1 alors g(x) est tjs positive ; g est donc croissante.

1b) g(0)= 0 donc g(x) est tjs positive.

2 Soit h(x)= (2-x)e^x - 1
a) Sa dérivée h'(x)=(1-x)e^x ; étudie son signe et dresse le tableau de variations
Tu montreras que la limite en + est celle de -xe^x donc tu obtiens comme limite -
b) l'équation h(x)=0 n'a qu'une seule solution sur [1;+[ en effet h(1)=e - 1 1,7 puis h(2)=-1 de plus sur [1;2] h est décroissante , il existe une seule valeur telle que h()=0.
A l'aide de la calculatrice tu obtiendras 1,84 < < 1,85.
Par conséquent h(x) est positif si x [0;[ et h(x) est négatif si x ];+[

Partie B.

1)a) f est partout définie sur [0;+[ si on démontre que le dénominateur e^x - x est différent de 0;
posons u(x)=e^x-x et étudions ses variations.
la dérivée u'(x)=e^x-1 ; cette dérivée s'annule pour x=0 , elle est positive si x est supérieur à 0 don l fonction u(x)=e^x-x est croissante de plus u(0)=1 donc e^x-x n'est jamaisnul sur [0;+[ , la fonction f est tjs définie.

1b) Pour montrer que f(x)=(1-e^-x)/(1-xe^-x) il suffit de diviser numérateur et dénominateur par e^x ;
On obtiens alors f(x)=1
Ce qui démontre que la droite y=1 est Asymptote.

1c) Calcule la dérivée de f(x)= (e^x-1)/(e^x-x) en utilisant la dérivée du quotient u/v ( revois ton cours si nécessaire)
Après simplication tu obtiens :
f'(x)=h(x)/(e^x-x)²

1d) A la question A. 2b) tu as le signe de h(x) ...donc le signe de f'(x) est connu ; Après avoir calculé f(0) tu peux dresser le tableau de variations de f.

2a) f(x)-x = (e^x-1)/(e^x-x) - x
réduis au même dénominateur ; puis mets en facteur l'expression (1-x) au numérateur et tu obtiens ..... f(x)-x=(1-x)g(x)/((e^x-1)/(e^x-x) -x).
dresse alors le tableau de signe de ce quotient en utilisant les réponses de A.1a) de B.1a) ;
Conclusion : .....la courbe Cf est au dessus de la droite y=x si x[0;1[ et en dessous sinon .
vérifie à la calculatrice graphique.

Marcel
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