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[tintin3366]

Bonjour,

Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O;I;J). Une droite d de coefficient directeur a supérieur ou egal a 0 passe par A(0;1) et recoupe le demi-cercle de centre O et de rayon 1 situé au-dessus de l'axe des abscisses en M.On nomme N le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses. Pour quelles valeurs de a le trapèze OAMN a-t-il une aire maximale ?

merci de m'aidez.

[marcel]

D'après ton énoncé , on en déduit que a ]0;1]
Il est aisé de prouver que l'équation de la droite (d) est y=ax+1.
Le cercle de centre O et de rayon 1 a pour équation x²+y=1 ( voir http://homeomath.imingo.net/cercle1.htm )
en remplaçant y par ax+1 dans l'équation du cercle on obtient deux solutions x=0 et x= -2a/(a²+1)
Cette dernière valeur est l'abscisse de M et de N

Pour caculer l'aire du trapèze il faut connaitre l'ordonnée de M ; pour cela on remplace x par -2a/(a²+1)
dans y=ax+1
Tu obtiendras.... y_M=(1-a²)/(1+a²) ce nombre est tjs positif pour a compris entre 0 et 1

Aors l'aire A=(MN+AO)*ON/2
soit.... A=2a/(a²+1)
on détermine les variations de A , on déduit que le maximum est atteint pour a=/3.
Marcel
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