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[zal]

Bonjour,

Voici l'énoncé :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v).
On considère les transformations T1 et T2 qui, au point M d'affixe z, associent respectivement les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2 telles que :
Z1= 1/z barre
Z2= z²

D est l'ensemble des points M d'affixes z tels que: Re(z)=1

questions :
Montrer que T1 est la composée de 2 transformations simples.
En déduire l'image de D par T1

Je ne sais pas du tout comment débuter cet exercice

Comment peut-on connaitre les coordonnées cartésiennes du point M ?

Merci par avance de m'éclairer
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1.f4=1/0

[zal]

J'essaie d'avancer un peu^^

Montrer que T1 est la composée de 2 transformations simples.

Les 2 transformations sont (z1 : z barre) et (z1 : 1/z )

déduire l'image de D par T1 (donc x= 1 c'est ça ?)

z1= 1/x-iy = 1/1-iy après avoir multiplié par le conjugué on a 1+y/1+y²

Je ne suis pas sur du tout

Déjà pour 1+y/1+y² j'espère ne pas me tromper dans les signes !
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1.f4=1/0

[zal]

z= 1/1+y'² + y'/1+y'²

si x = 1 et y = 0

z=1

si x=1 et y=1

z=1/2 + i

si x=1 et y= -1

z=1/2 + -1/2 i

Est-ce que j'ai le bon raisonnement ou est ce que je fais n'importe quoi ?
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1.f4=1/0

[marcel]

Soit T₁ la transformation complexe tel que , pour qu'à tout point M(z) avec z 0 on associe M₁ d'affixe z₁ tel que: z₁= 1/

Considérons d'abord z sous sa forme exponentielle :
z= eⁱ , démontre que:
alors z₁ =(1/ ) *eⁱ

Ce qui démontre que O, M, M₁ sont alignés. Trace une figure semblable à celle de la page http://homeomath.imingo.net/inversion1.htm
Sur ce dessin place les points U d'affixe 1 et A intersection de (OM) avec le cercle de centre O et de rayon 1 .
La parallèle à (UM) passant par A coupe l'axe des réels en B , alors d'après le théorème de Thalès :
OB/OU=OA/OM soit OB=1/
Par une rotation de centre O d'angle , le point B a pour image M₁ d'affixe z₁;
En effet M₁ est sur la droite (OM) et le module de z₁ est ègal à 1/

On peut aussi dire qu'on obtient le point M₁ en faisant d'abord une projection du point M suivant la droite (MU) sur l'axe des réels suivi d'une rotation de centre O et d'angle .

Considérons maintenant (D) comme étant l'ensemble des points M d'affixes z tels que: Re(z)=1
Il est aisé de démontrer que (D) est la droite d'équation x=1 . passant par le point U.
Choisissons l'écriture algébrique pour le complexe z et pour le complexe z₁
soit z=x+iy lorsque M (D) alors z=1+i y
et donc .... z₁ = 1/(1+y²)+y/(1+y²)

Démontre que x₁²+y₁² = 1/(1+y²)

on obtient la relation: x₁²+y₁²=x₁ que l'on transforme en .....
(x₁-1/2)²+y₁²=1/4

Ceci est l'équation du cercle de centre I(1/2;0) et de rayon 1/2 .

Trace la droite (D) et le cercle .

La droite (D) a pour image un cercle ; la transformation est une inversion complexe.

Marcel
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[zal]

Je comprend mieux déjà, enfin en partie


"Démontre que x1²+y1² = 1/(1+y²)

on obtient la relation: x1²+y1²=x1 que l'on transforme en .....
(x1-1/2)²+y1²=1/4 "

Euh, la j'avoue ne pas comprendre !

Il y a des étapes que je ne maitrise pas :

Démontre que x1²+y1² = 1/(1+y²) ?

Après la multiplication par le conjugué du dénominateur 1/z barre devient 1/(1+y²) j'imagine... Mais quel rapport avec x1²+y1² ?

Merci d'avance, ce site est génial
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1.f4=1/0

[marcel]

[zal]

merci beaucoup
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1.f4=1/0

[zal]

Re !
Toujours le même énoncé

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v).
On considère les transformations T1 et T2 qui, au point M d'affixe z, associent respectivement les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2 telles que :
Z1= 1/z barre
Z2= z²

D est l'ensemble des points M d'affixes z tels que: Re(z)=1

Et les nouvelles questions :

2a)Exprimer les coordonnes cartésienne x2 et y2 du point M2 en fonction des coordonnes x et y du point M.

La, c'est comme plus haut:
z2=z²
On pose z=x+iy

z2=(x+iy)²=x²+2ixy+i²y²=(x²-y²)+2ixy

x2=x²-y² et y2=2xy (j'ai bon ?)

2b) En déduire que les images des points D par T2 sont sur une conique dont on précisera une équation.

On remplace x par 1 et effectivement, cela donne une conique.
Mais comment préciser l'équation ? on doit calculer le module ?

3)Déterminer l'ensemble des points dont l'image T2 appartient a D. On trouvera une conique dont on donnera une équation.

Pour cette question, je ne saisi pas la nuance avec la question précedente
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1.f4=1/0

[marcel]

[zal]

Merci de consacrer du temps pour rendre service aux autres !
Chapeau et merci
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1.f4=1/0

[marcel]

Merci . Le plaisir est aussi pour moi .

Bon courage. Marcel
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[arsa27]

Bonsoir,
merci pour ces explications qui m'ont été d'un grand secours, j'ai juste une question par rapport à z=z2


c'est sur cette partie:

Les points de l'ensemble (D) sont tels que : Re(z)=1 alors x=1, les équations deviennent:
1-y²=x2
et 2y=y2 en remplaçant y par y2/2
dans la première équation tu obtiens:
......x2²+y2²/4=1

je n'arrive pas à comprendre comment le x2 de l’équation 1-y²=x2 est devenu x2² sur l’équation x2²+y2²/4=1 . Merci d'avance pour votre aide.

[marcel]

Désolé je me suis trompé :
Les points de l'ensemble (D) sont tels que : Re(z)=1 alors x=1, les équations deviennent:
1-y²=x₂
et 2y=y₂en remplaçant y par y₂/2
dans la première équation tu obtiens:
......x₂+y₂²/4=1

soit l'équation : y₂²=4-4x₂

Ceci est l'équation d'une parabole d'axe Ox , voir http://homeomath.imingo.net/parabo1.htm

Marcel
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[arsa27]

Merci pour vos explications, j'ai tout compris grâce a cela .
Cordialement