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[haley]

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour jeudi, j'ai tenté de le faire mais je n'y arrive pas .Je ne sais pas comment m'y prendre.
Pourriez vous m'aider?

I) On considère la fonction f1 définie sur (0;+inf( par :

f1(x)=2x-2+ln(x²+1)
a)Déterminer la limite de f1 en +inf
b) Déterminer la dérivée de f1
c) Dresser le tableau de variation de f1. Justifier.
<
II)Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn définie sur (0;+inf( par :fn (x)=2x-2+(ln(x²+1)/n)

a) Déterminer la limite de fn en + inf
b) Démontrer que la fonction fn est strictement croissante sur (0;+inf(
c) Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution n sur (0;+inf(
d) Justifier que 0< N<1>0. (Indication : comparer fn( n+1) et fn+1( n+1)

4.Etude de la suite( n)

a)Montrer que la suite ( n) est croissante.
(Indication: comparer fn ( n) et fn ( n+1)

b) En deduire qu'elle est convergente
c) Justifier que pour tout entier naturel n non nul,
n=1-(ln( ²n+1)/2n).
En déduire la limite de la suite ( n).

merci d'avance pour votre aide.

[haley]

DESOLE LE PRECEDENT ENONCE EST FAUX JE LE RECOMMENCE:

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour jeudi, j'ai tenté de le faire mais je n'y arrive pas .Je ne sais pas comment m'y prendre.
Pourriez vous m'aider?

I) On considère la fonction f1 définie sur (0;+inf( par :

f1(x)=2x-2+ln(x²+1)
a)Déterminer la limite de f1 en +inf
b) Déterminer la dérivée de f1
c) Dresser le tableau de variation de f1. Justifier.

II)Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn définie sur (0;+inf( par :fn (x)=2x-2+(ln(x²+1)/n)

a) Déterminer la limite de fn en + inf
b) Démontrer que la fonction fn est strictement croissante sur (0;+inf(
c) Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution n sur (0;+inf(
d) Justifier que 0< N<1>0. (Indication : comparer fn( n+1) et fn+1( n+1)

4.Etude de la suite( n)

a)Montrer que la suite ( n) est croissante.
(Indication: comparer fn ( n) et fn ( n+1)

b) En deduire qu'elle est convergente

c) Justifier que pour tout entier naturel n non nul,
n=1-(ln( ²n+1)/2n).
En déduire la limite de la suite ( n).

merci d'avance pour votre aide.

[haley]

DESOLE IL YA ENCORE UNE ERREUR DANS LE II) LE d) est faux . Voici la correction:
d) justifier que 0<alpha n <1

ENSUITE AVANT LE IV) IL YA UN PETIT 3 QUI N'EST PAS APPARU LE VOICI:
3) Montrer que, pour que tout entier naturel n non nul, fn(alpha n+1)>0.
Indication: comparer fn (alpha n) et fn (alpha n+1)

[haley]

DESOLE JE NE SAIS VRAIMENT PAS CE QUI M'ARRIVE J'AI OUBLIER
+1 DANS LE 3) voici la correction:
Indication: comparer fn (alpha n+1) et fn+1 (alpha n+1)

[haley]

AUTRE ECLAIRCISSEMENT, DANS LE 4)c) alpha n=1-(ln(alpha²n+(1))/2n).
Le petit n , n'est pas à la même auteur que le 1. Le n est en dessous de alpha.

[marcel]

I) On considère la fonction f1 définie sur [0;+[ par :

f1(x)=2x-2+ln(x²+1)
a)Déterminer la limite de f1 en +
Réponse : Aucune difficulté ici
b) Déterminer la dérivée de f1
Réponse : On obtient f'₁(x)= 2(x²+x+1)/(x²+1) ; en utilisant le signe du trinôme du second degré il est aisé de justifier que la dérivée est strictement positive donc f₁ est croissante sur [0; +[.
c) Dresser le tableau de variation de f1. Justifier.
Réponse : La fonction est croissante de -2 à +

II)Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn définie sur [0; +[ par :f_n(x)=2x-2+[ln(x²+1)]/n

a) Déterminer la limite de fn en +: inf:
Réponse : aucune diff.
b) Démontrer que la fonction fn est strictement croissante sur [0; +[
Réponse:Calcule la dérivée comme au Ib) et démontre que celle ci est positive donc fn est croissante
c) Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution _n sur [0; +[
Réponse: Utilise le théorème de la bijection .
d) Justifier que 0 < n <1
Réponse:
d'après le tableau de variations n est positif.
De plus comme _n est positif alors ² _n +1 > 1
Donc ln[² _n+1] > 0
Alors 2-ln[² _n+1]/n < 2 puis en divisant par 2 on obtient...
_n <1.

III) Montrer que, pour que tout entier naturel n non nul, fn( _n+1)>0.

Réponse:
fn( _n+1)=2 ( _n+1)-2+(1/n)*ln[(² _n+1+1];

Or f_n+1( _n+1)=0 voir question IIc).

En remplaçant 2 ( _n+1)-2 par -1/(n+1)*ln[(² _n+1+1] dans la ligne précédente , puis en mettant ln[(² _n+1+1] en facteur on arrive à :

fn( _n+1)=ln[(² _n+1+1] *[1/n-1/(n+1]
Il est aisé de démontrer que chacun des 2 facteurs est positif , au final:

fn( _n+1)>0.

IV.Etude de la suite( _n)

a)Montrer que la suite ( _n) est croissante.
Indication: comparer fn ( _n) et fn ( _n+1)

D'après les réponses précédentes , fn ( _n) =0 et fn ( _n+1) est positif donc :
fn ( _n+1) est supérieur à fn ( _n)
Et comme la fonction est croissante alors :
_n+1 est supérieur à _n.

La suite _n est croissante.

b) En deduire qu'elle est convergente.
Réponse :Applique le théorème : toute suite croissante et majorée converge

c) Justifier que pour tout entier naturel n non nul,
_n=1-(ln[(² _n+1+1])/(2n).
Utiliser le fait que f_n( _n)=0

En déduire la limite de la suite ( _n).

Il te faut déterminer la limite de 1-(ln[(² _n+1+1])/(2n).

Bon courage .
Marcel.
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[haley]

Tout d'abord je vous remercie d'avoir bien voulu prendre de votre temps pour m'aider.
Je ne comprends pas comment vous avez trouver la dérivée, j'avais essayé de le faire mais j'ai utilisé la formule: f'=u'/u ce qui m'a conduit à trouver f'=2+(2x/x²+1) ?

[marcel]

[yvanyvan]

quels sont les limites de alphan? aidez moi je n trouve pas la derniere question svp

[marcel]

Dans la partie II ) il a été démontré que _n est compris entre 0 et 1
La suite _n est croissante et majorée par 1 donc elle converge
La limite de _n est celle de 1-(ln[(²_n +1])/(2n). lorsque n tend vers +

Or (ln[(²_n +1]) est positif donc (ln[(²_n +1])/2n a pour limite 0
Ainsi : _n a pour limite 1.

Marcel
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