L'ensemble des entiers naturels est noté

= {0 ,1 , 2 , 3, ...}

Représentation sur une droite :


On remarque la régularité : les nombres se suivent de 1 en 1...il n'y a aucun entier naturel entre 1 et 2 , 2 et 3 etc...


En fait tout nombre qui sert à dénombrer une collection d'objets est un entier naturel. A une collection vide c'est à dire sans objets ( un sac vide par exemple ) on fait correspondre le nombre 0.

L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté

= {1 , 2 , 3 , 4 , ....}
Lecture littérale d'un nombre entier

L'addition des entiers naturels se fait naturellement : ajouter ou additionner plusieurs collections d'objets, c'est réunir ces collections en une seule. Cette opération est notée +

exemple :

5 + 7 + 4 = 16

Table d'addition des entiers naturels

La soustraction des entiers naturels se définit par rapport à l'addition : soustraire un nombre b d'un autre a plus grand c'est trouver un nombre c tel que b + c = a, on note cette opération - :
c = a - b. La soustraction a - b n'est définie dans l'ensemble des entiers naturels que si a est supérieur ou égal à b.
( Il existe un ensemble dans lequel la soustraction de deux entiers naturel a et b est possibles même si a < b)

Exemple :

Table de soustraction des entiers naturels

La multiplication des entiers naturels :
Multiplier un nombre a par un nombre b, c'est faire la somme d'autant de nombres égaux à a qu'il y a d'unités dans b :

Exemple :

Table de multiplication des entiers naturels

La division des entiers naturels
Diviser exactement un nombre appelé dividende par un autre nombre appelé diviseur c'est trouver un nombre appelé quotient dont le produit par le diviseur est égal au dividende, la division dans les entiers naturels n'est pas toujours possible.

Exemple :



Table de division des entiers naturels

Table des racines carrées dans l'ensemble des entiers naturels

Quelques propriétés

• Toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément.

Propriétés de l'addition des entiers naturels

• L'addition est commutative :
  pour tous entiers naturels m et n on a :
  m + n = n + m
  
• L'addition est associative
  pour tous entiers naturels m, n et p on a :
  (m + n ) + p = n + ( m + p)
• 0 est l'élément neutre pour l'addition des entiers naturels
  pour tout entier naturel n on a :
  n + 0 = 0 + n = n
• Tout élément de est régulier pour l'addition , c'est à dire :
  pour tous entiers naturels m, n, p :
  m + p = n + p m = n
• L'addition est compatible avec la relation d'ordre total
  sur :
  pour tous entiers naturels m, n, p, q :
  ( m n et p q ) (m + p n + q )
  m n m + p n + p
  

Propriétés de la multiplication des entiers naturels

• La multiplication est commutative :
  pour tous entiers naturels m et n on a :
  m n = n m
• La multiplication est associative
  pour tous entiers naturels m, n et p on a :
  (m n ) p = n ( m p)
• 1 est l'élément neutre pour la multiplication :
  pour tout entier naturel n on a :
  1 n = n 1 = n
• Tout élément de est régulier pour la multiplication , c'est à dire :
  pour tous entiers naturels m, n et tout entier naturel non nul p on a :
  m p = n p m = n
• La multiplication est compatible avec la relation d'ordre total
  sur :
  pour tous entiers naturels m, n, p, q :
  ( m n et p q ) (m p n q )
  m n m p n p
• L'ensemble ordonné est archimédien :
  pour tout entier naturel non nul u et tout entier naturel v il existe un entier naturel n tel que n u > v
  preuve :
  -si u > v, il suffit de prendre n = 1
  -si u v, considérons l'ensemble des multiples de u qui sont inférieur ou égaux à v , c'est un sous ensemble non vide ( u en est un élément ) et majoré par v , donc il admet un plus grand élément m donc pour n = m + 1 on a bien n u > v