Matrices
semblables,
matrice d'une application linéaire dans une nouvelle base |
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Coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base :
On considère deux bases d'un espace
vectoriel  de
dimension n :
( 1,2,.....,
n)
et ( 1,2,.....,n)
,
Les vecteurs 1,2,.....,n
ont pour coordonnées
1 (p11
; p21 ; ...... ; pn1)
2 (p12
; p22 ; ...... ; pn2)
....
n (p1n
; p2n ; ...... ; pnn)
dans la base (1,2,.....,
n)
Quelque soit le vecteur 
de on peut considérer
indifféremment ses coordonnées (x1; x2
; x3 ; ....; xn) dans la base (1,2,.....,
n)
ou ses coordonnées (y1; y2 ; y3
; ....; yn) dans la base (1,2,.....,n)
on a :
=x11+
x22
+....+ xnn
= y11+
y22
+....+ynn
ce qui équivaut à (y1; y2 ; y3
; ....; yn) solution du système
:
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p11 y1 + p12y2 + ...+ p1n
yn = x1
p21 y1 + p22y2 + ...+
p2n yn = x2
....
pn1 y1 + pn2y2 + ...+
pnn yn = xn
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En utilisant la notation matricielle :
P = (pij), X = (xi) , Y = (yi) avec 0
 i , j
n on a :
X = PY , la matrice P étant inversible
on a Y = P-1X
Remarques : X et Y sont respectivement les coordonnées du vecteur
de
( matrice vecteur colonne ) dans les bases
(1,2,.....,
n)
et (1,2,.....,n)
.
La matrice P est appelée matrice de passage. |
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Matrice d'une application linéaire dans une nouvelle base
:
On considère :
- une application linéaire a de matrice
dans la base
(1,2,.....,
n)
et de matrice B dans la base
(1,2,.....,n)
, n =
- soit
de coordonnées X dans la base (1,2,.....,
n)
et Y dans la base (1,2,.....,n)
.
- soit
 l'image du
vecteur
de coordonnées X' dans la base (1,2,.....,
n)
et Y' dans la base
(1,2,.....,n)
- soit
la matrice de passage de la base
(1,2,.....,
n)
à la base (1,2,.....,n)
.
En utilisant la notation matricielle :
X' = AX , Y' = BY , X = PY, X' = PY'
X' = AX 
PY' = AX P-1PY'
= P-1AX
Y' = P-1AX
Y' = P-1APY
or Y' = BY on a donc
= P-1AP
on dit que les matrices A et B sont semblables.
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