diagonalisation d'une matrice carrée
Matrice diagonale :
Une matrice diagonale D est une matrice carrée dont tous les éléments
qui n'appartiennent pas à la diagonale ( d11 ; d22
; ........; dnn ) sont nuls , l'interêt pour ce type
de matrice, c'est que :
- la somme de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.
- le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.
( ce produit est commutatif ) - la puissance d'une matrice diagonale est une matrice diagonale.
- l'exponentielle d'une matrice diagonale est une matrice diagonale.
Voir opérations sur les matrices
Diagonalisation d'une matrice M ou d'un endomorphisme u :
Diagonaliser une matrice de dimension n c'est trouver une base de vecteurs
dans laquelle la matrice est diagonale :
c'est à dire une base (
1,2,.....,
n)
telle que :
u(1) = 
1
1
u(2) = 2
2
...
u(n) = n
n
par abus de langage sous forme matricielle :
M 1 = 1
1
M 2 = 2
2
...
M n = n
n
En déterminant les valeurs
propres et les vecteurs propres d'un endomorphisme, on peut dans certains
cas diagonaliser une matrice ( ou un endomorphisme ) , il suffit de déterminer
n vecteurs propres linéairement indépendants.
On admet que si les valeurs propres sont deux à deux distinctes
alors la matrice est diagonalisable.
Vous pouvez vérifier ces propriétés en prenant comme
matrice de passage P, la matrice
formée des vecteurs propres de la matrice. ( en colonne )
