Loi faible des grands nombres ( théorème de Bernouilli )
Soient X₁, X₂, X₃, ..... , X_n n variables aléatoires suivant une même loi de probabilité d'espérance mathématique E(X) .
Soit la variable aléatoire définie par :

alors : pour tout réel > 0 on a :

Une simulation pour comprendre
= n variables aléatoires suivant la loi de probabilité suivante :
P(X = 1) = 1/4 , P(X = 2) = 1/2 , P(X = 3) = 1/4
L'espérance mathématique est E(X) = 2.
pause de seconde(s) entre chaque expérience aléatoire
résultat courant :
moyenne des résultats :
On remarque que la moyenne des résultats se rapproche de 2...
Théorème de la limite centrée
Soient X₁, X₂, X₃, ..... , X_n n variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de même espérance mathématique m et de variance ² .
Soient S_n et les variables aléatoires définies respectivement par :

Lorsque n est suffisamment grand, les variables aléatoires S_n et suivent alors approximativement ( respectivement ) les lois normales
N( mn , ) et N( m ; / )
Simulation pour comprendre
Application :
En statistique : lois d'échantillonnage.