On considère une population mère et X une variable aléatoire définissant le caractère étudié de cette population d'espérance mathématique
E(X) = m et d'écart type
.On prélève des échantillons de taille n de cette population, ce qui correspond à n variables aléatoires indépendantes X1, X2, X3, ..... , Xn de même loi que X.
La loi d'échantillonnage de taille n de la moyenne
des n variables aléatoires peut être approchée par la
loi normale N( m
; / 
)
pour n suffisamment grand. En effet
E(
)
= (1/n)(E(X1)
+ E(X2) + E(X3) + .....+ E(Xn
) ) = (1/n) (n E(X)) = E(X) = mV(
)
= (1/n²)(V(X1)
+ V(X2) + V(X3) + .....+ V(Xn
) )= (1/n²) (n V(X)) = V(X)/n
( )
= / Loi d'échantillonnage de la fréquences
On considère une population mère
et A une classe ( catégorie ) de cette population c'est à
dire un sous ensemble de
. Soit X une variable aléatoire à valeur dans {0 ; 1 } définie de la façon suivante pour tout élément
de : X(
) = 1 si
AX(
) = 0 si
AOn a :
P(X = 1) = P(A) = p où p représente la proportion ou fréquence d'éléments de catégorie A dans la population
.
P(X = 0) = P(
) = 1
- p = q où q représente la proportion ou fréquence
d'éléments de
n'étant pas de catégorie A dans la population .
On prélève un échantillon de taille n de cette population, c'est à dire n éléments de
ce qui correspond à n variables aléatoires indépendantes
X1, X2,
X3, ..... , Xn de même
loi que X. On a :
E(X) = 0
P(X = 0) + 1
P(X = 1) = pV(X) = (0 - p)²
P(X
= 0) + (1 - p)P(X = 1)
= p (1 - p) = pqLa variable aléatoire
définie par
=(X1 + X2
+ X3 + .....+ Xn ) /n
associe à tout échantillon de taille n la fréquence d'éléments de catégorie A de cet échantillon.
La loi d'échantillonnage de la fréquence
d'éléments de catégorie A peut être approchée
par la loi normale N( p
; ) pour n suffisamment
grand avec 
En effet :
