.Une application linéaire ( ou homomorphisme ) f de e vers e' est une application possédant les 2 propriétés :
- Pour tous
et 
appartenant
à e, f(
+ ) = f()
+ f() - Pour tout
appartenant à e et tout réel
a appartenant
à
: f(a )
= a f()
une application possédant la première propriété est dite additive, une
application possédant la seconde propriété est dite homogène.
Remarque : on peut prouver directement
que pour tous vecteurs
et de e
et tous réels a et b
on a :
f(a .
+b.)
= a f()
+ b f().
Cas particuliers
L'application linéaire f de e dans
e' est un :
- un isomorphisme si f est bijective.
- un endomorphisme de e ( si e = e' )
- un automorphisme de e ( si f est bijective et e = e' )
Quelques exemples d'applications linéaires d'espaces vectoriels :
Soit e un espace vectoriel , k un
réel non nul fixé
- L'homothétie vectorielle
- L'identité vectorielle
- La projection vectorielle
- Les isométries vectorielles du plan
Matrice d'une application
linéaire
Soit f une
application linéaire de e dans e',
où e et e'
sont deux espaces vectoriels sur .
Soient (
1,2,.....,
n)
et (
1,2,.....,p)
des bases respectives des espaces vectoriels e
et e' ( dim
e = n et dim e'
= p) il existe des nombres uniques aij i 
{1;2;3;....; p} et j
{1;2;3;....; n} tels que
f (1)
= a11 1
+ a122
+ ........a1pp
f (2)
= a21 1
+ a222
+ ........a2pp
....
f (n)
= an1 1
+ an22
+ ........anpp
La matrice (aij) (i;j)
{1;2;3;....; p}x{1;2;3;....; n} :
est la matrice de l'application
linéaire f relativement aux bases choisies
(1,2,.....,
n)
et (1,2,.....,p).
Image d'une application linéaire d'espaces vectoriels
Soit f une application linéaire de e
vers e', on
appelle image de l'application f (noté Im f) l'ensemble
des vecteurs
f()
ou
décrit l'ensemble e :
Im f = {f()
;
e }
Propriété :
Im (f) est un sous espace vectoriel de e'(
il suffit de prouver que Imf est stable pour les deux lois ...)
Noyau d'une application linéaire d'espaces vectoriels
Le noyau d'une application linéaire f (noté
: Ker(f)) d'un espace vectoriel e
vers un espace vectoriel e'
est l'ensemble des vecteurs de e
dont l'image est le vecteur nul de e'.
Propriété :
Ker(f) est un sous espace vectoriel de e.
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