| Limites de fonctions polynômes
et quotient de polynômes |
- Limite en - ¥ et + ¥
d'une fonction polynôme :
on ne peut en général pas se
servir des opérations sur les limites comme le montre l'exemple
ci-dessous.
Soit la fonction f définie sur 
par f(x) = 2x3+ x² + 2
en +¥ , il
n'y a pas de problème :
c'est une somme de limites.
par contre en -¥, si on utilise la même
méthode que précédemment on ne peut pas conclure :
on est devant une "forme indéterminée", dans ce cas on factorise
par xdegré du polynôme avant de déterminer
la limite en -¥ :
L'expression obtenue n'est plus une somme mais un produit :
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- Limite en a ( ou a est un réel donné ) d'une fonction
polynôme
Si f est une fonction polynôme définie en a, alors 
autrement dans le cas d'un polynôme définie en a , limite et image coïncident.
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
par f(x) = 2x3+ x² + 2
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- Limite d'un quotient de polynômes en
- ¥
et en +¥ :
vous utilisez la même méthode pour factoriser le
dénominateur et le numérateur de l'expression puis vous simplifiez
l'expression obtenue et en fait vous calculez la limite comme le
montre l'exemple ci-dessous.
Soit la fonction f définie sur
par :
On transforme l'expression de f(x) comme c'est expliqué plus haut : 
On calcul la limite du numérateur, puis du dénominateur et on en
déduit la limite du quotient :
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- Limite en a ( ou a est un réel donné ) d'une fonction f quotient
de polynômes f(x) est alors de la forme :
( ou p(x) et q(x) sont deux polynômes )
- premier cas : si le dénominateur
ne s'annule pas en a, dans ce cas pas de problème
- second cas si seul le dénominateur q(x)
s'annule en a
dans ce cas on calcule la limite du numérateur p(x) en a, on étudie
le signe du dénominateur q(x) suivant les valeurs de x ( il se peut
par exemple que pour x < a, q(x) < 0 et que pour x
> a , q(x) >0 ou inversement ) on exprime le résultat obtenu avec
etc... puis on utilise les opérations sur les limites, si on a 0+
pour la limite au dénominateur et un résultat positif au numérateur
la limite sera +¥ par exemple.
Exemple : soit la fonction f définie sur [0 ; 1[
]1; +¥[ par
on veut déterminer les limites de f en 1, seul le dénominateur s'annule
en 1.
Calculons la limite du numérateur en 1 :
étudions le signe du dénominateur x² + x - 2 sur l'ensemble de
définition de f.
en calculant le discriminant
de x² + x - 2 on trouve 2 racines - 2 et 1 on en déduit
le signe de x² + x - 2
On en déduit 
et par conséquent :
troisième cas : si le dénominateur et le
numérateur s'annule en a factoriser numérateur et dénominateur avec
la méthode de la racine et simplifier la fraction au maximum vous n'avez
plus qu'à utiliser les méthodes vues dans les deux autres cas.
- Exercice intéractif
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