Composée de deux symétries
orthogonales
Soient SD et SD' deux symétries orthogonales
respectivement d'axe D et D' .
- Si les droites D et D' sont strictement parallèles, soit H
un point quelconque de D et H' son projeté orthogonal sur la
droite D', la composée de la symétrie orthogonale SD
suivie de la composée SD' est la translation de vecteur
2
démonstration : soit A un point quelconque du plan, A' son image par SD et A'' l'image de A' par SD' on a :
- Si les droites D et D' sont sécantes en un point O , la composée
de la symétrie orthogonale SD suivie de la composée
SD' est la rotation de centre O et d'angle 2 ( D ; D' )
démonstration
soit A un point quelconque du plan, A' son image par SD et A'' l'image de A' par SD' on a :
- Si D = D' , la composée est l'identité du plan , ou
tout point est sa propre image.
Composée de deux translations
la composée de la translation t
suivie de la translation t
est une translation de vecteur
+ :
t o t
= t+
Composée de deux rotations
On considère deux rotations r1 et r2
de centres respectifs O1 et O2, et d'angle respectif
de mesure 
1
et 2 , la
composée de de ces deux rotations peut être suivant les cas
une rotation d'angle d'angle 1
+ 2 ou bien
une translation.
démonstration, on décompose les deux rotations en composée
de symétrie axiale. Si on pose 
1
et 2, les
droites passant respectivement par O1 et O2 sont
telles que :
mes ( (O1O2), 1)
= - 1 /2
et mes ( (O1 O2), 2)
= 2 /2
posons S1 , S2 et S les reflexions d'axes respectifs
(O1O2), 1,
2
r2 o r1 = (S2 o S )o( S o
S1) = S2 o (S o S ) o S1 =
S2 o S1
on a de plus mes ( 1
, 2) =
1 /2 + 2
/2 = (1
+ 2 )/2
- cette composée est une translation est un translation si les
droites 1
et 2
sont parallèles quand 1
+ 2 =
k2
avec k 
- cette composée est une rotation de centre
le point d'intersection de 1
et 2
si 1
et 2
sont sécantes, l'angle de cette rotation est 1
+ 2
Composée d'une rotation et d'une translation - la composée de la translation t
suivie de la rotation de centre O et d'angle de mesure
est encore une rotation d'angle de mesure
de même que la composée de la rotation de centre O et d'angle
de mesure suivie
de la translation t
La démonstration utilise encore les décompositions en composée de symétries orthogonales.
