Intégrale d'une fonction bornée sur un intervalle ( hors programme terminale )

Encadrement d'une fonction bornée sur un intervalle  [a ; b ] par des fonctions en escalier

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle [a ; b ] , considérons  la suite croissante : x0 = a, x1, x2, ...,xi, ......,xn-1, xn = b d'éléments de  [a; b], alors les intervalles  [a ; x1[ , [x1, x2[ , ..... [xn-1, b] forment une partition de [a; b] La fonction f étant définie et bornée, elle admet sur chacun des intervalles [a ; x1[ , [x1, x2[ , ..... [xn-1, b] une borne supérieure et une borne inférieure. Notons  mi la borne inférieure sur l'intervalle  [x i -1, x i[ et Mi la borne supérieure , alors les fonctions g et h définie telles que :  pour tout x [x i -1, x i [ , g(x) = gi  et h(x) = hi  (ou hi   et gi  sont deux réels tels que Mi hi   M et   m gi   mi ) encadrent f ( c'est à dire g est une fonction minorant  f et h est une fonction majorant  f )

Quelque soit la partition de [a; b] considérée, il existe des fonctions f et g en escalier qui encadrent f.

Intégrale d'une fonction bornée sur un intervalle  définition : une fonction numérique f, définie et bornée sur un intervalle fermé  [a; b] , est dite intégrable sur  [a; b] si l'ensemble des intégrales des fonctions en escalier minorant f et l'ensemble des fonctions en escalier majorant f sont deux sous ensembles adjacents de .  Si f est intégrable, on nomme intégrale (de Riemann ) de la fonction f sur l'intervalle  [a; b] la valeur commune des bornes des intégrales en escalier encadrant f, cette valeur est noté :  Ce nombre est l' aire algébrique de l'ensemble des points M(x , y) du plan tels que a x b et y compris entre 0 et f(x) .