Inégalités et opérations sur les inégalités

Rappel sur les inégalités :

Soient a et b deux réels :
a > b signifie " a strictement supérieur à b "
a < b signifie " a strictement inférieur à b "
a b signifie " a supérieur ou égal à b "
a b signifie " a inférieur ou égal à b"

Quelques exemples :
3 3 est une inégalité vraie puisque 3 inférieur ou égal
à 3
3 < 3 est une inégalité fausse
2 3 est une inégalité vraie puisque 2 inférieur ou égal à 3
-1< 4 est une inégalité vraie puisque -1 est inférieur
à 4
2 1 est une inégalité fausse puisque 2 est ni inférieur
à 1 ni égal à 1

Comparaison de deux nombres :

Comparer deux nombres a et b c'est pouvoir affirmer l'une des inégalités : a > b, a < b , a b , a b , ou l'égalité a = b.
Pour comparer deux nombres a et b, on peut :
- utiliser les théorèmes de rangement
- étudier le signe de a - b,
si a - b > 0 alors a > b, si a - b < 0 alors a < b
si a et b sont deux fractions...

Opérations sur les inégalités :

Quelles opérations peut-on utiliser quand on a deux inégalités (Les propriétés qui transforment une inéquation en une inéquation équivalente sont abordées dans la résolution des inéquations.)

inégalité stricte implique inégalité large :
si a
< b alors a b (réciproque fausse)

On peut ajouter membre à membre
deux inégalités de même sens :

  • si a < b et c < d alors a + c < b + d
  • si a b et c d alors a + c b + d
  • si a b et c d alors a + c b + d
  • si a > b et c > d alors a + c > b + d
  • si a < b et c d alors a + c < b + d
  • si a > b et c d alors a + c > b + d

On peut multiplier membre à membre
deux inégalités de même sens et dont les membres sont tous positifs :

pour tous réels positifs a, b ,c et d on a :

  • si 0 a < b et 0 c < d alors ac < bd
  • si 0 a b et 0 c d alors ac bd
  • si a b 0 et c d 0 alors ac bd
  • si a > b 0 et c > d 0 alors ac > bd

Remarques : on ne soustrait ni on ne divise membre à membre deux inégalités.


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