Homothétie

L' homothétie de centre I et de rapport k ( où I est un point   et k un réel non  nul ) est une transformation .
C'est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que 
Notation : hI,k ou h si il n'y a pas de confusion possible.

Quelque cas particulier : 
- si k = 1, l'homothétie est l'identité
- si k= -1, l'homothétie est la symétrie centrale de centre I
( applet geogebra )
k > 1 : agrandissementImage d'un triangle par une homothétie agrandissante0 < k < 1 : réduction
image d'un triangle par une homothétie réductrice
k < -1 : agrandissement-1 < k < 0 : réduction
Image d'un triangle par une homothétie agrandissante négativeImage d'un triangle par une homothétie réductrice négative
L'homothétie n'est pas une isométrie sauf pour k = 1 et k = -1 :
- elle multiplie les distances par |k|
- elle multiplie les aires par k²
- elle multiplie les volumes par |k|3
- l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle.
- l'image d'un plan est un plan parallèle ( homothétie de l'espace).
- l'image du cercle C(O ; R) et le cercle C(O' ; |k|R ) ou O' = h(O)
- l'image d'une sphère S(O ; R) et la sphère S(O' ; |k|R )
Ce qui suit est hors programme lycée :
Considérons l'application vectorielle associée à l'homothétie h de centre I et de rapport k , déterminons l'image d'un vecteur par :
Soient M et N deux points tels que = et M', N' leurs images respectives par h on a :
l'application vectorielle est linéaire de l'espace vectoriel des vecteurs par conséquent h est une application affine.
Les homothéties font partie du groupes des dilatations.
Traduction analytique d'une homothétie
Dans l'espace muni du repère (O; ;; ) soit M(x ; y ; z) un point quelconque et M'(x' ; y' ; z') son image par l'homothétie h de centre I(a ; b; c) et de rapport k on a :

ce qui s'écrit sous forme matricielle par :

cela vient du fait que l'homothétie vectorielle associée est telle que  :
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