Définition :
Soit f une fonction T périodique, on appelle développement en série de Fourier de la fonction f :

Condition de Dirichlet :
Une fonction f est développable en série de Fourier si :

• f est périodique
• f est dérivable sauf en un nombre fini de points par période.
• f est continue sauf en un nombre fini de points par période.
• les fonctions f et f' admettent des limites à gauche et à droite finies en tout point.
  
  

Théorème de Dirichlet :
Soit f une fonction satisfaisant aux conditions de Dirichlet et a un réel fixé :
Si f est continue en a alors la série de Fourier converge vers f (a)
Si f n'est pas continue en a alors la série de Fourier converge vers ( f (a⁺) + f (a^-) )/2
où f (a⁺) et f (a^-) représentent respectivement les limites à droite et à gauche de f en a.

Coefficients de Fourier :
les nombres a_n et b_n et c_n sont appelés coefficients de Fourier et on a :


Propriétés :
si f est paire alors pour tout entier naturel n on a : b_n = 0
si f est impaire alors pour tout entier naturel n on a : a_n = 0

• Développement en série de Fourier