Exemple d'étude d'une fonction rationnelle

Soit la fonction f définie sur - { 1/2 } par :

on appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal .
Voila le type de questions que vous pouvez rencontrer :
1) Déterminer les limites de f en + et - .
2) Déterminer les limites en 1/2 , en donner l'interprétation géométrique.
3) Déterminer les réels a et b tel que pour tout réel x différent de 1/2 on ait :

en déduire que C a une asymptote dont on précisera l'équation .
4) Calculer f '(x) et en étudier les variations de la fonction f, dresser le tableau de variation de f.
5) Déterminer les coordonnées du points I d'intersection des deux asymptotes .
démontrer que I est centre de symétrie de la courbe C.
6) Construire C ainsi que les asymptotes à la courbe C.
Réponse question 1

Réponse question 2

La droite d'équation x = 1/2 comme asymptote.
Réponse question 3.

on en déduit :


on en déduit que la droite d'équation y = -x + 5/2 est asymptote à la courbe C en + et - .
Réponse question 4

f '(x) est du signe de -x² + x + 2 sur - { 1/2 } car (2x - 1)² > 0 et 4 > 0 sur - { 1/2 }
étudions le signe de -x² + x + 2 :

-x² + x + 2 admet deux racines -1 et 2 et il est du signe de -1 à l'extérieur de ses racines...
on en déduit les variations de f , que l'on peut résumer dans le tableau de variation suivant :


Réponse question 5
Le point I (x ; y) doit être tel que ses coordonnées vérifient les équations des deux aymptotes :
x = 1/2 et y = -x + 5/2, en résolvant ce système on trouve I( 1/2 ; 2)
utilisons la méthode explosée sur ce lien :
comment démontrer qu'une courbe admet un centre de symétrie ...

donc I(1/2 ; 2) est le centre de symétrie de C.
Réponse question 6 :
commencez toujours par construire les asymptotes et les tangentes et ensuite la courbe représentative.