Définition :
Une fonction polynôme du second degré est une fonction f définie sur par :
f (x ) = ax ² + bx + c où a, b et c sont trois réels tels que a 0.
La courbe représentative de ce type de fonction est une parabole.
Exemples d'étude de fonction polynôme du second degré :
On considère la fonction f définie sur par :
f (x ) = x² + 2x - 4 et C sa courbe représentative.
1. Déterminons les variations de cette fonction :
Pour tout réel x, on a : f ' (x) = 2x + 2
Etudions le signe de f ' (x) ;
2x + 2 > 0 si x > -1
On en déduit les variations de la fonction f sur
f est croissante sur [-1 ; + [ et f est décroissante sur ] - ; -1] .
Calculons l'extremum : f (-1) = (-1)² + 2(-1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5

2. Calculons les limites aux bornes de l'ensemble de définition

3. Construire la courbe représentative C de la fonction f.
Pour cela il suffit de se servir des résultats des questions précédentes
et de calculer quelques images de nombres :
f(0) = -4 ; f(1) = -1 ; f(2) = 4 + 4 - 4 = 4 ; f(3) = 9 + 8 - 4 = 13
et d'utiliser les propriétés de symétrie de la courbe représentative C
( la parabole admet un axe de symétrie )