Deux fonctions f et g d'ensembles de définition respectifs D_f et D_g sont égales si : 

• D_f = D_g    et
• Pour tout réel x de D_f , f(x) = g(x)

On note alors f = g

Soit f et g, 2 fonctions d'ensembles de définition respectifs D_f et D_g tels que  D_f  D_g
( intersection non vide )

Par définition la fonction qui à tout réel x de  D_f  D_g  associe le réel f(x) + g(x) est appelée la somme des fonctions f et g et est notée f + g :

Pour tout réel x de  D_f  D_g 

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

ensemble de définition d'une somme de fonction
Propriété sens de variation : la somme de deux fonctions croissantes ( respectivement décroissantes ) sur un intervalle I est une fonction croissante sur cet intervalle ( respectivement décroissante )

Par définition la fonction qui à tout réel x de  D_f  associe le réel k f(x) est produit de la fonction f par le réel k et est notée k f :

Pour tout réel x de  D_f 

( k f )(x) = k f(x) 

Propriété sens de variation :
Si k > 0 les fonctions f et kf ont le même sens de variation
Si k < 0 les fonctions f et kf ont des sens de variation contraire

• si f(x) D_g  , on dit que (g o f ) (x) = g(f(x))
• si f(x) D_g  , x n'a pas d'image par g o f

Exemple , si f définie sur par f(x) = x²  - 1 et g définie sur [0 ; +[ par g(x) = alors g o f  est définie sur ]-; -1] [1 ; +[ ( il faut que f(x) [0 ; +[ ) par g o f (x) = g(f(x)) = 

Inversement si h est définie sur ]-; -1] [1 ; +[ par h(x) =
on peut décomposer en h en g o f avec les définitions précédentes.

(ensemble de définition d'une composée de fonctions )

1. x f(x) + k 
2. x f(x + k)
3. x f(k x)
4. x |f(x)|
5. x f(|x|)
6. x k f(x)

• Pour trouver le sens de variation des fonctions composées
• Calculer des images avec une somme de fonctions, un produit de fonctions, une fonction composée de deux fonctions...