Ensemble de définition d'une fonction
Qu'est ce qu'une fonction numérique de variable réelle ?
Soit D un ensemble de nombre réel ( ou une partie de ) .
Lorsqu' à chaque nombre réel x de D on fait correspondre un nombre réel et un seul, on dit que l'on définie une fonction sur D.
Exemple : soit la fonction qui à tout réel de l'intervalle [-1;1] on fait correspondre son carré augmenté de 1 alors peut résumer par :
f définie sur [-1;1] par f(x) = x² + 1 ou alors par
f : [-1;1]
x x² + 1
L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction.
L'ensemble de définition d'une fonction est donné arbitrairement dans l'énoncé définissant la fonction sinon il est à déterminer naturellement.
Remarque : soit a un nombre réel et Df l'ensemble de définition d'une fonction, si a Df , on dit que f est définie en a , si a Df ,f n'est pas définie en a.
Antécédents et images par une fonction antécédents et images par une fonction
Lorsqu'une fonction f est définie sur un ensemble D, pour chaque nombre appartenant à D, le nombre qui lui correspond est appelé son image.
Exemple : si on reprend la fonction f définie sur [-1;1] par f(x) = x² + 1,
L'image de 0 est le nombre 1 par la fonction f.
L'image de 1/2 est le nombre (1/2)² + 1 = 5/4, on peut dire aussi 1/2 a pour image 5/4 par f et noté simplement f(1/2) = 5/4.
Inversement, à partir d'un nombre réel b fixé, peut-on déterminer un réel a qui a pour image b, si oui, le nombre réel a est appelé un antécédent de b par f.
Exemple : 1 admet un admet un seul antécédent par la fonction que l'on a définit plus haut, en effet f(0) = 1, et il n'existe pas d'autre réel dont l'image est 1, en effet l'équation x² + 1 = 1 admet une seule solution.
Prenons le nombre 5/4, on a vu que 1/2 avait pour image 5/4, on peut donc en déduire que 1/2 est un antécédent de 5/4 ( mais ce n'est pas forcément le seul )
en effet un antécédent de 5/4 doit être solution de l'équation x² + 1= 5/4
cette équation admet deux solutions 1/2 et -1/2 donc 5/4 admet deux antécédents qui sont 1/2 et -1/2.
Prenons le nombre 0, ce nombre n'a pas d'antécédent en effet il n'existe aucun réel x qui a pour image 0 par f puisque l'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution dans [-1 ; 1] ( pas plus dans )
Graphiquement : on retrouve l'image du nombre réel a :
En lisant l'ordonnée b du point d'abscisse a de la courbe

Graphiquement : on retrouve l'antécédent du nombre réel b :
En lisant les abscisses des points d'ordonnées b de la courbe

Applet geogebra pour comprendre

Recherche de l'ensemble de définition d'une f quand il n'est pas donné dans l'énoncé : On utilise les résultats suivants :


recherche de l'ensemble de définition