Théorème :
Si p est un nombre premier, alors pour tout entier a on a :
a^p a (p)
a^p-1 1 (p)
( voir congruence )

Démonstration du théorème :

• Si a n'est pas premier avec p, comme p est un nombre premier, alors a est un multiple de p, donc a et a^p ont le même reste nul dans la division par p donc a^p a (p)
  

• Supposons donc a premier avec p, donc a n'est pas un multiple de p.
  démontrons d'abord le résultat suivant :
  
  
  
  il ne suffit plus que démontrer par récurrence que : a^p a (p) en utilisant la propriété précédente.
  supposons que l'on a : a^p a (p) pour un certain rang a et démontrons que l'on a alors : (a + 1)^p a + 1 (p)
  (a + 1)^p a^p + 1^p (p) puisque p est premier
  or a^p a (p)
  a^p + 1 a + 1 (p) donc : (a + 1)^p a + 1 (p)