Un exemple de somme de sous espaces vectoriels.
On admet que l'ensemble e = 3 des triplets de réels (x ; y ; z ) muni de la loi interne + et de la loi externe . telles que pour tout triplet de réels (x ; y ; z) et ( x', y'; z') et tout réel a on a :
  •  (x ;  y ; z ) + (x' ; y' ; z' ) = (x' + x' ; y + y'; z + z' ) 
  • a.(x ;  y ; z) = (ax ; ay ; az)

est un espace vectoriel sur . 

Considérons les sous espaces vectoriels suivants (on admet que ce sont des sous espaces vectoriels de 3).
e1 = { (0 ; y ; 0 ) ;  y }
e2 = { (0 ; 0 ; z ) ;  z }
e3 = { (x ; 0 ; z ) ; x , z }

e1 + e2 = {( 0 ; y ; z ); x , z }
e1 + e3 = {(x ; y ; z ); x , y , z } = 3
e2 + e3 = {( x ; 0 ; z ); x , z }
e1 e2 = {( 0 ; 0 ; 0 )} donc e1 + e2 = e1 somme directe e2 
e1 e3 ={( 0 ; 0 ; 0 )} donc e1 + e3 = e1 somme directe e3 
e2 e3 = {(0 ; 0 ; z ); z } {( 0 ; 0 ; 0 )} donc la somme e2 + e3 n'est pas directe.
On peut dire que e1 et e3  sont deux sous espaces supplémentaires de 3
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