un ensemble e est un espace vectoriel sur
:
- lorsque e est muni d'une loi de composition interne (généralement notée +) , appelée addition vectorielle, telle que (e, + ) est un groupe commutatif , les éléments de e sont plus communément appelé vecteurs .
- l'ensemble e est muni d'une loi de composition externe, noté par un
point " . " tel que
:
(1) Pour tout
e on
a : 1 . =
(2) Pour tout
e
et
pour tous réels
et 
:
.()=
()
( +
)= +
(3) Pour tous
et appartenant
à e et pour tout réel
(+
) =+
Propriétés
- Pour tous
, ,
de e : +
= +
=
- Pour tous , de
e, il existe un unique vecteur
tel que
= +
- Pour tout
e
et
pour tout réel on a :
.=
(
= 0 ou =
)
Un exemple d'espace vectoriel pour comprendre
Définition : Sous espace vectoriel : On nomme
sous espace vectoriel d'un espace vectoriel e, toute partie
e' non vide de
e stable pour l'addition vectorielle et la multiplication externe
définies sur e :
Pour tous vecteurs
et
de e' et tous réels
et
(.+.)
appartient à e'
E' est un espace vectorielle muni des lois + et .
Remarque
: L'intersection de deux sous
espaces vectoriels d'un espace vectoriel e est encore un sous espace
vectoriel de
e, mais ce n'est pas forcément le cas de l'union
de deux sous espace vectoriel.
Un exemple de sous espace vectoriel
Définition : Somme de deux sous-espaces vectoriels
Soient U et V deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel e sur
,
on appelle somme des sous espaces vectoriels U et V l'ensemble noté
U + V des vecteurs
= +
où est
un élément de U et
est un élément de V
U+V est un sous espace vectoriel de
e
Définition : Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Soient U et V deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel e sur
,
on dit que W = U+V est la somme directe des sous espaces vectoriels U et V
si W est la somme des deux sous espaces vectoriel U et V et que le seul
élément commun à U et V est le vecteur nul ( élément neutre ) on note
alors : W = U
V
Un exemple de somme de sous
espaces vectoriels
Propriété caractéristique
Pour que la somme U+V de 2 sous espaces vectoriels U et V soit directe, il
faut et il suffit que tout vecteur de (U+V) soit de façon unique, somme
d'un vecteur de U et d'un vecteur de V.
Si e = UV
on dit que les sous espaces vectoriels U et V sont supplémentaires.
Combinaison linéaires
de vecteurs
Soit e un espace vectoriel
sur ,
et soit {
1,2,.....,
n}
un sous ensemble fini de vecteurs de e.
On appelle combinaison linéaire des vecteurs 1,2,.....,
n
tout vecteur tel
que :
Remarque
est toujours un élément de E.
Espace vectoriel engendré et famille génératrice
L'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de toute partie finie
{1,2,.....,
n}
d'un espace vectoriel e est un sous
espace vectoriel de E, appelé sous espace vectoriel engendré par
1,2,.....,
n
Une partie G ou famille de vecteur d'un espace vectoriel e est dite génératrice de e si tout vecteur de e est une combinaison linéaire de G.
Partie libre, partie liée d'un espace vectoriel
Une partie d'un espace vectoriel e
sur ,
est dite libre si pour tout nombre fini d'éléments 1,2,.....,
n
de cette partie on a :
a1 1
+ a2 2
+ a3 3+...+
ann
= 
a1 = a2 = a3 = .....=
an= 0
La partie liée dans le cas contraire :
Propriété : si une partie L est une partie liée d'un espace
vectoriel, alors l'un au moins des vecteurs de L est une combinaison linéaire
d'autres vecteurs de L.
Base d'un espace vectoriel
On nomme base d'un espace vectoriel toute partie génératrice et libre
de cet espace vectoriel.
Remarque cette définition de base généralise la définition d'une
base de vecteurs dans le plan ou dans l'espace.
Propriété caractéristique d'une base
Pour qu'une partie B d'un espace vectoriel e
soit une base de e, il faut et il
suffit que tout vecteur de e s'exprime
de façon unique, par une combinaison linéaire d'un nombre fini de vecteurs
de E.
coordonnées d'un vecteur dans une base donnée
Soit B = (1,2,.....,
n)
une base finie d'un espace vectoriel e
sur
tout vecteur
de e s'exprime de façon unique en
fonction des vecteurs 1,2,.....,
n
, autrement dit il existe des réels x1, x2, ....,xn
tels que :
= x11+x22+.....+
xnn
.
le n-uplet (x1; x2 ; ....;xn) est appelé
coordonnée du vecteur
dans la base (1,2,.....,
n).
Cette définition généralise la définition de coordonnée
d'un vecteur dans le plan.
Dimension d'un espace vectoriel fini
Si un espace vectoriel e admet
une base de n éléments, toute les autres bases de e
ont également n éléments, ce nombre d'élément est appelé dimension de
l'espace vectoriel e que l'on note
dim e.
Propriétés :
Si e = e1
e2 alors dime1
+ dim e2 = dim e
( cela vient du fait que si deux sous espace e1
et e2 sont supplémentaires,
ils admettent pour bases respectives des parties complémentaires de e
).
