Espérance mathématique

L'espérance mathématique est un paramètre de position, les valeurs possibles d'une variable aléatoire gravitent autour de cette valeur.
Variable aléatoire discrète ne prenant qu'un nombre fini de valeurs :

Soit une variable aléatoire discréte X supposée prendre un nombre fini de valeurs x1 , x2 , x3, ...... xn avec les probabilités :
p1 = P(X = x1) , p2 = P(X = x2) , ....., pn= P(X = xn) .
on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre réel noté E(X) défini par :

Exemple de calcul :
Espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant une loi Binomiale de paramètre n et p :

Variable discrète prenant un nombre infini de valeurs :
Dans ce cas une variable aléatoire peut trés bien ne pas avoir d'espérance mathématique.
Soit une variable aléatoire discréte X supposée prendre un nombre infini de valeurs x1 , x2 , x3, ...... xn , .....avec les probabilités :
p1 = P(X = x1) , p2 = P(X = x2) , ....., pn= P(X = xn) , .....
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre réel si il existe noté E(X) défini par :

Exemple de calcul :
Espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre .

Variable continue :
Dans ce cas une variable aléatoire X peut trés bien ne pas avoir d'espérance mathématique , l'espérance mathématique se calcul à partir de la densité fX de loi de la variable aléatoire :

Exemple de calcul
Espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant une loi normale
N(0 ; 1) :

Propriétés de l'espérance mathématique :

  • si X est une variable aléatoire à valeur positive, alors E(X) 0.
  • Linéarité de l'espérance mathématique :
    pour tout réel a et b et toutes variables aléatoires X et Y d'espérance mathématiques E(X) et E(Y) on a :
    E(aX + bY) = a E(X) + bE(Y)
  • Si deux variables X et Y d'espérances mathématiques respectives E(X) et E(Y) sont indépendantes on a : E(XY) = E(X)E(Y)